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在中学数学中,反例的使用率很高,并且在中学阶段随着研究性学习的普遍开展,中考与高考试题中的开放性题型也逐年增多,反例在中学数学以及教学中的重要性也日益突出。本文通过经验法、对比法、构造法、文献查阅等方法来探究反例在中学数学教学的中的作用。 由于时间仓促,错误或不足所难免，敬请批评指正。                     

  2.反例对数学概念教学的作用

2.1反例有利于概念的建立

不论是数学的教学中还是数学的学习中,数学概念是教师和学生运用的基础,所以数学概念的教学就显得尤为重要。数学概念的本身是抽象的,教师在引用数学概念之后,一定会有一个深化总结概念的过程,这个过程不仅要用正面的教学方式,也要有不同的方式来加深理解和巩固正面教学的不足。

例如在学习绝对值的概念是,就可以举例:有这样一个命题,如果A的绝对值等于B的绝对值,那么就有A=B,如何判定这个命题正确与否呢?我们可以举反例:“-5的绝对值等于5的绝对值,但是-5不等于5”。这样就能让学生正确的掌握概念了。

又例如,在等腰三角形的学习过程中,由于等腰三角形的本身属性较多,它是由“等腰”、“直角”和“三角形”三个方面组合而成的,有一些学生在学习之后,不是丢了等腰,就是丢了直角,有些学生就连三角形最基本的两边之和一定大于第三边、两边之差一定小于第三边的条件都不记得了。这时,老师就可以恰当的举出反例来帮助学生来理解和掌握概念.如果学生经常忽略“直角”,错误的把等腰三角形当作等腰直角三角形,这时,教师可以做出等腰直角型的正确图形,正确的引导学生在图形中对比,这样可以让学生深刻认识“直角”这个概念.同样,要是有学生忽略“三角形”或者“等腰”的性质,教师也可以通过反例来加深学生对概念的记忆和理解。

例1:在教学函数的概念时,部分学生由于对概念掌握的不够透彻,会简单的把函数误认为是:一个变量随着另一个变量的变化而变化,这样它们就成函数关系,可以举出适当的例子来纠正这些学生的错误认识,从而让他们真正的了解和掌握函数的基本概念和性质。

(1)人的身高和年龄成函数关系吗?

(2)如果有 ,则y是x的函数吗?

很多的学生会肯定的认为(1)中人的身高是和年龄有关系的,所以人的身高和年龄成函数关系。在(2)中因为 ,因变量y不会随着x的变化而变化,所以y不是x的函数。这时,教师可与学生们一起参与讨论,在问题(1)中,虽然人的身高和人的年龄有着一定的关系,但是人的年龄并不能决定人的身高,也就是说当自变量(人的年龄)发生变化时,因变量(人的身高)没有一定确定的值与之对应,所以题目(1)中的论述不符合函数的定义。在问题(2)中,对每一个在x的定义域中给定x的值,y随x总有唯一的确定的值与之对应,知识x的值不断变化,y的值始终不变而已.可以得出结论,y是x的函数,表并不是一定要求y随x变化而变化。

以上举得两个反例,学生们就可以很直观的体会到:每一个变量x的确定的值,变量y都会有唯一的确定的值与之对应,这才是两个变量构成函数关系的本质。

在中学数学中,我们很容易忘记正三棱锥中“顶点在底面的射影是底面的中心”这一基本条件,误以为“底面是正三角形,每个侧面都是等腰三角形的三棱锥才是正三棱锥”.这种情况,可以举出反例如下图所示,三棱锥 中, AB=BC=AC=SC=2,SA=SB=3.很明显底面是正三角形,但是三棱锥S-ABC却不是三棱锥。