迭代法在求解线性方程组和最优路径问题中的应用(2)
时间:2017-06-07 11:53 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
在现代数学方程组中，线性方程组具有举足轻重的地位.纵观现代科学和学科中大多数的问题，解决其问题的根本方法就是解线性方程组，所以在数学中的线性方程组的数值解中占有非常重要的地位.本论文分四个模块，第一个模块是线性方程组的定义，第二个模块是先介绍迭代法的基本思想，迭代公式，由迭代公式引出本论文主要介绍的迭代法，第三个模块是例题，最后一个模块介绍迭代法在最优路径问题中的应用. 1. 线性方程组的定义 定义：由n个未知量、m个方程组成的线性方程组的一般形式是： , （1） 其中 是系数, 是常数项， 是未知数.(系数和常数项都是任意的复数或某一个域的元素). 当常数项 均为零时，称方程组（1）是齐次线性方程组. 称 , 为方程（1）M行N列的系数矩阵. 称 , 为方程组（1）的m行n+1列增广矩阵. 2. 迭代法解线性方程组的基本思想 迭代法是一种由逼近来得到近似解的方法. 因为这个问题是不同的，然后从中的线性代数方程组的系数矩阵的这些问题肯定是不一样的，是对这一问题的线性代数方程组的一组对应的大型稀疏矩阵的求解，可以采用迭代法求解. 在一定精度要求高，往往与求解的基本思想是：迭代方法从初始向量 出发，根据规则的迭代，不断在以前的近似解，进一步修改，从而形成近似解得向量 .当近似解 收敛于方程的矢量的精确解 ，给出了精确的数值解向量 可以作为 的一种解决方案. 线性方程组的迭代解法主要研究的三个问题: （1）如何构造迭代公式; （2）向量数列 的收敛条件; （3）迭代的结束和估计误差. 在利用迭代法求解线性方程组时，我们通常会运用以下几种方法.即雅可比迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法. 雅可比迭代法，也被称为交换或迭代，是最简单的和其他方法的线性方程组的迭代方法. 2.1迭代公式 一个线性方程组 ， 非奇异矩阵.研究如何构建解决 方案，及其的一个迭代的方法. 将非奇异矩阵 的分裂为 其中，其中 为可选择的非奇异矩阵，且 使 容易求解，一般选择为 的某种近似，称 为分裂矩阵. 于是，求解 转化为求解 ，即求解 求解 . 也就是求解线性方程组 ， 从而可构造一阶定常迭代法 ( 是初始向量)， 其中 , .称 为迭代矩阵，选择阵列 迭代的方法，以获得各种迭代解. 2.2 雅可比迭代法 将线性方程组解 中的系数矩阵 分成三部分 , （1） ，M是被一个对角元素A的的部分，或选择 (对角矩阵), ， 由 （ 是初始向量）, 式得到解. 的雅可比迭代法 （ 是初始向量）, 迭代矩阵 称为解 的雅可比迭代法. 雅可比迭代法 （ 是初始向量）, 的分量计算公式，记 (责任编辑：qin) |