积分因子法在一阶常微分方程求解问题中的应用(3)
时间:2017-06-25 19:10 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
本课题主要研究积分因子法在一阶常微分方程中的应用，具体内容包括一阶常微分方程积分因子存在性及其解法，通过引入几类较复杂的常微分方程积分因子，给出求解实例；最后介绍修正积分因子法在数值计算中的应用. 需要注意的是，运用积分因子求解一阶常微分方程的好处也是显而易见的，主要体现在：解题的过程更加简单而清晰. 论文结构 本文共分为三章. 第一章为绪论部分. 主要阐述了本课题的目的与意义，并简述研究内容. 第二章讨论积分因子的存在性问题. 本章首先引入积分因子的定义，然后给出了几种不同形式积分因子存在的充要条件，并给出证明. 最后简要阐述了几种常见类型微分方程的积分因子以方便实用. 第三章主要介绍了几种一阶常微分方程积分因子的求法，并给出一些实例，进一步验证了积分因子法在求解一阶常微分方程时的有效性. 最后简单介绍了修正积分因子法在数值计算中的应用. 最后，致谢.积分因子的存在性讨论 本章首先引入积分因子的定义，然后给出了几种不同形式积分因子存在的充要条件，并给出证明. 最后简要阐述了几种常见类型微分方程的积分因子. 积分因子的定义 恰当微分方程可以通过积分求出它的通解. 因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义. 积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念. 若对于一阶微分方程 （1） 其中 ， 在矩形域内是 的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数 ，使得 为一恰当微分方程，即存在函数 ，使 则称 为方程 的积分因子． 这时ν(x,y)=c是方程（2）的解，因而也就是（1）的通解. 而对于方程 （ ）有积分因子分别为 ， ， ， ， 全微分方程分别是： 由上可以看到，同一方程ydx-xdy=0可以有不同的积分因子. 可以证明：只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的. 因此，在具体的解题过程中，由于求出的积分因子不同从而通解可能具有不同的形式. 通过计算可得，函数 为 积分因子的充要条件为： 这是个以 为未知数的一阶线性偏微分方程，要想通过解方程（3）来求积分因子，从而得到方程（1）的解，在一般情况下，将比求解方程（1）本身更困难.但是，在若干特殊情形中，求（3）的一个特解还是容易的，所以（3）也就提供了寻求特殊形式的积分因子的一个途径. 不同形式积分因子存在的充要条件 方程 具有形如 的积分因子的充要条件为： （4） 对此可作以下证明：由方程（3），令 ，则有： ， 从而求得方程（1）的一个积分因子为 . 由此我们可以推广到以下几类特殊情况： 存在只与x有关的积分因子 . 则∂μ/∂y=0，这时方程（3）变为 N du/dx=(∂M/∂y-∂N/∂x)μ, 即 dμ/μ=(∂M/∂y-∂N/∂x)/N dx, (5) (责任编辑：qin) |