积分因子法在一阶常微分方程求解问题中的应用(4)
时间:2017-06-25 19:10 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
由此可知，方程（1）有只与x有关的积分因子的充要条件是 (∂M/∂y-∂N/∂x)/N=φ(x), (6) 这里φ(x)仅为x的函数，假如条件（6）成立，则根据方程（5），可以求得方程（1）的一个积分因子 . 存在只与y有关的积分因子 同样，（1）有只与y有关的积分因子的充要条件是 (∂M/∂y-∂N/∂x)/(-M)=φ(y), 这里φ(y)仅为y的函数. 从而求得方程（1）的一个积分因子μ=e^∫▒〖φ(y)dy〗. 存在 形式的积分因子 由上述可得，方程（1）有 形式的积分因子的充要条件是 (∂M/∂y-∂N/∂x) (M±N)^(-1)=f(x±y). 存在 形式的积分因子 方程（1）有 形式的积分因子的充要条件是 (∂M/∂y-∂N/∂x) (My±Nx)^(-1)=f(x^2±y^2 ). 存在 形式的积分因子 方程（1）有 形式的积分因子的充要条件是 1/(x^α y^β ) (∂M/∂y-∂N/∂x) (αN/x-βM/y)^(-1)=f(x^α y^β ), 延伸1：存在形如μ(x,y)=F(η)形式的积分因子 方程（1）具有形如μ(x,y)=F(η)积分因子的充要条件是：存在函数 f(η)，使(∂N/∂x-∂M/∂y) 1/f(η) =∂η/∂y M-∂η/∂x N成立，且积分因子 μ(x,y)=F(η)=exp[∫▒〖f(η)dη〗]. 推论1：方程（1）有形如μ(x,y)=F(ax^u+bx^γ y^λ+cy^v)积分因子的充要条件是存在函数f(ax^u+bx^γ y^λ+cy^v)，使 (∂N/∂x-∂M/∂y) 1/f(ax^u+bx^γ y^λ+cy^v ) =bλx^γ y^(λ-1) M+cvy^(v-1) M-aux^(u-1) N-brx^(γ-1) y^λ N （其中a、b、c为不全为零的常数）, 且积分因子 μ(x,y)= exp[∫▒〖f(ax^u+bx^γ y^λ+cy^v)d(ax^u+bx^γ y^λ+cy^v)〗]. 推论2：方程（1）有形如μ(x,y)=F(ax^u+cy^v)积分因子的充要条件是存在函数f(ax^u+cy^v)，使 (∂N/∂x-∂M/∂y) 1/(f(ax^u+cy^v))=cvy^(v-1) M-aux^(u-1) N 成立（其中a、c是不全为零的常数）, 且积分因子 μ(x,y)= exp[∫▒〖f(ax^u+cy^v)d(ax^u+cy^v)〗]. 推论3：方程（1）有形如 μ(x,y)=F(x^γ y^λ)积分因子的充要条件是存在函数f(x^γ y^λ)使 (∂N/∂x-∂M/∂y) 1/(f(x^γ y^λ))=〖λx〗^γ y^(λ-1) M-γx^(γ-1) y^λ N 成立，且积分因子 μ(x,y)= exp[∫▒〖f(x^γ y^λ)d(x^γ y^λ)〗]. 证明：方程（1）有形如μ(x,y)=F(η)积分因子的充要条件是 ∂FM/∂y=∂FN/∂x, 又 ∂FM/∂y=M dF/dη ∂η/∂y+F ∂M/∂y,∂FN/∂x=N dF/dη ∂η/∂x+F ∂N/∂x, 代入整理得 (∂η/∂y M-∂η/∂x N) dF/dη=F(∂N/∂x-∂M/∂y), 即 ∂N/∂x-∂M/∂y=(∂η/∂y M-∂η/∂x N) 1/F dF/dη=(∂η/∂y M-∂η/∂x N) dlnF/dη, 记 (责任编辑：qin) |