从青年时代开始，祖冲之便对数学和天文学怀有浓厚兴趣，他曾在著作中自述说，自幼起“专功数术，搜炼古今”。祖冲之把上古时起至他生活年代的各种文献资料搜罗来研究，同时亲自进行精密的测量和仔细的推算，也不把自己束缚在古人陈腐的思想中。可以说，祖冲之批判地接受了前人的学术遗产，并勇于提出自己的新见解，这是古往今来一切杰出科学家共有的优良品质。

在数学领域，祖冲之师承的是比他早两百多年的魏晋时期的刘徽，后者发明了计算圆周率的“割圆术”和计算球体积的方法。由圆面积计算公式，容易得知，只要求得圆的面积，再除以半径的平方，即为圆周率。而如何求圆面积，刘徽在《九章算术》的注释里这样写道， 半角公式

  割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。

刘徽从圆内接正六边形开始计算面积，依次将边数加倍，求出内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形等等的面积。随着边数的增加，内接正多边形的面积越来越接近圆的面积，圆面积和圆周率的精确度就越高。

在古代，包括中国和巴比伦在内的一些民族，都把3作为圆周率。这方面，古埃及人的计算较为准确，他们得到的圆周率为3。1。刘徽用他的割圆术，求得圆周率为3。14，这与古希腊数学家阿基米德算得的圆周率是一致的，后者比刘徽要早六个世纪。学界普遍推测刘徽也算出了3。1416，但未有直接的证据。半角公式

祖冲之计算出的圆周率范围为，3。1415926＜π＜3。1415927

即精确到小数点后7位。此外，他还得了被称为密率的这个分数的圆周率 355/113，虽然只精确到小数点后6位，却同样让人惊叹。直到962年以后，祖冲之的圆周率才被阿拉伯统治下的波斯数学家卡西改进。卡西利用了余弦函数的半角公式，简化了计算，精确到了小数点后17位。而德国人奥托求得密率，则比祖冲之晚了一千多年。半角公式

祖冲之的成就是如何取得的？没有任何史料流传下来，因为祖冲之的著作全部失传了，而记载圆周率值的《隋书》又没有具体交代。由于当时只有刘徽的割圆术一种方法，因此我们只能猜测祖冲之用的是同样的方法。那样的话，他需要算出圆内接正24576边形的面积，而密率（有日本学者建议称为祖率）的求得恐怕是借助于前辈天文学家何承天发明的“调日法”。