计数法的演变及其对小学生数概念形成的启示

中图分类号:G632文献标识码:B文章编号:1002-7661(2015)03-320-01

数学始于数和形概念的产生,其详情无由稽考,但肯定不是一蹴而就的,其中凝聚着先民们的艰苦创造。认识数并把它们表示出来,这是人类最早的数学论文网活动之一。由于脱离计数活动。数及其运算而独论记数是不可能的,所以有必要对它们的关系作若干规定和说明。

本文之数概指自然数。单个自然数乃一切等价有限集合之抽象,是通过反复的计数活动形成的。计数作为一种计量活动,其本质乃是把待计的有限集合与某个已知的标准集合(如手指的集合。数词的片断等)建立一一对应关系。而所谓记数,就是用某个符号系统表达或保存计数结果(即数)的一种活动。

很明显,计数和记数既是数学活动,也是语言活动。当计数在口头上进行时,语言中必得有数的名称;当记数采取书写的形式时,就需要数字符号。记数和计数唇齿相依,几乎是同时发生的,所以有必要简单分析一下计数法的演变情况。

最初的原始人类并没有数的概念,但能依据某种方式判断一个具体集合的大小发生了变化。这种觉察多寡的能力就是数的感觉,某些动物(鸟类。蜂类等)也有这种数觉本能。①当原始人的思维还不能对事物的关系和性质作精细的分析时,仅凭数的直觉还不可能把数和物体的其它性质分开,更不可能从物体的集合中抽象出来,这时的数概念是模糊而散漫的。后来,原始人能够分辨一。二和许多,渐至认识了等数性,于是动物所没有的计数活动在人类出现了,并真正导致数概念的产生。

当计数的对象不多时,人们用身边常见的物体,特别是自己身体上的器官和肢端作为比较的标准,是再自然不过的事了。其中屈指计数具有十分重要的意义。②这个阶段的数已被指明为物体集合的一个性质,但尚未从中抽象出来,计数的功能只是把一组物体的数量特征转移到另一组物体。原始人还没有认识到数列的潜在无穷性,对超过一定数目(比如手指个数)的数就不能计算了。

原始社会进化到稍有经济组织的时候,由于分配和交换的需要,人们计算大数的机会增多了。屈指计数不敷应用,就用石子。木棍。绳结等实物计数。这仍是在两组物体之间建立一一对应,但人类认识的数量增大了,并导致进位思想的产生。结合进位思想对实物计数法进行改良,人们又创造出各种计数工具,如算筹。算盘等。实物和工具计数法都适应了早期人类思维的直观性。

文字产生后,单个的数有了独立的名称,人们就用语言文字计数。数开始脱离物体集合而成为抽象概念,数与数之间有了运算。③最后,数概念在人们头脑中形成具有一定关系和规律的潜在无穷系统。

人类数概念的形成过程,对儿童学习计数和记数有一定的启示。小学低年级学生,较多应用具体实例“。直观特征“形式掌握概念,他们获得数概念的过程,往往是一个反复感知,辨认同类事物不同例子,分不同层次抽象概括其本质特征的过程。

一年级学生是这样形成10以内的数概念:数实物(使实物与数目相联系)→拨算珠(抽象出事物的数量特征,用有形的算珠代表事物)→读写数字(用抽象的数字代替算珠)→形成数概念。

随着数概念范围逐步扩展,在学习20以内。100以内。万以内数的认识过程中获得数概念的方式是基本相同的,但每个阶段具体要求是不同的,体现了从易到难。从简单到复杂的不同层次水平,从具体到抽象的顺序不断发展深化。下面就数数和读写数为例加以说明:

教学20以内认数时,在数实物的过程中突出十“为单位的基础上一个个地数,孕伏计数单位十“和一“;在读写数的过程中要凭借实物图,从图。数的对应地读。写做起,以便突出20以内数的组成。

教学100以内认数时,数实物要分层进行:第一层从二十起一根根地数到100,弄清100以内数的顺序;第二层十根十根地数,数到100掌握整十数的顺序并感知10个十是一百;第三层接近整十数往下数,突破认识100以内数的顺序难点;第四层在数数的过程中凭借实物感知100以内数的组成,在读。写教学中不再依靠实物而是借助计数器。在感知数位的基础上形成读。写一般表象都从高位起“。

教学万以内认数,有了100以内数认识的基础,同时由于数的再扩展,所以通过计数器半抽象地进行数数练习;在读。写数教学中要提高抽象概括的水平,如读数第一步通过656。3812两数读法总结出从高位起“,按照数位顺序读,千位上是几千,……个位上是几就读几“,第二步通过703。5006两数读法总结出中间有一个0或两个0,只读一个零“,第三步通过400。8000两个数的读法总结出末尾不管有几个0,都不读“,第四步通过3040读法,最后总结性概括读法。

计数法的演变及其对小学生数概念形成的启示