2.2.1  ARCH模型
ARCH(条件异方差)模型在1982年的由恩格尔(.REngel)建立,该模型是指:如果一个平稳随机变量x能够按AR(p)方式给出,那么它的随机误差项中的方差就能够使用差值二次方的q阶滞后模型描述,
                     (1)
                      (2)
则称 是q次的ARCH过程,表示成ARCH(q)。这里面(1)式是平均值的方程函数,(2)式是我们需要研究得到的ARCH方程函数。
2.2.2 GARCH模型
(2)式是用来描述方差的分布滞后模型。那么想要 的滞后项减少,就可以把 这一滞后的量加进去,那么(2)式可以变成:
                             (3)
此模型称为广义自回归条件异方差模型,表示成GARCH(1,1)。
GARCH分布模型是ARCH模型的阶数延展成无穷时的情况。
GARCH分布模型的方程里ARCH项的量为q,GARCH的量为p,所以表示成GARCH(p,q),这样一来, 可以用下式来表示:
          (4)
2.2.3 EGARCH模型
我们研究股票市场交易体系时就能看出,当股票的价格下跌与上升的幅度相等相时,股票价格下跌常有比较强烈的波动性。对于这种现象,我们将使用EGARCH模型来加以说明。EGARCH分布模式在1991年时被尼尔森(Nelson)建立,它的特点是一种非对称模型,数学表达式为:
     (5)
此模型的特殊之处在于, 的值总为正。这是由于该式的左边数学含义对 取对数,这样一来该式右边的正负对反对数 的正负是不影响的。
该模型比一般的GARCH模型优秀的地方是该模型能够区分出正、负两种新加的信息对结果的干扰差别。正值的新添加的信息代表处于利好消息的情形,负值的新添加的信息代表处于利坏消息的情形。它们的数值相同, EGARCH模型能用来区分它们所造成的不同影响。
2.2.4 TGARCH 模型
还有一类非对称的GARCH模型称为TGARCH模型,该模型方差的表达式函数是:
  (6)
该式中,
如果 比零大那么代表现在处于利好消息的情况, 比零小代表现在处于利坏消息的情况。该模型下,利好和利坏消息对条件方差的影响是不一样的。处于利好的情况时, 波动的平方项的系数是 。处于利坏的情况时, 波动的平方项的系数是 + 。如果γ为零,条件方差对冲击的反应是对称的,当γ≠0时,条件方差对冲击的反应是非对称的,其中存在显著的杠杆效应。
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