低秩矩阵恢复优化算法设计与实现(3)
3 采用TILT算法进行图像矫正
1.3. 本文的工作与组织结构
本文首先探讨了经典的PCA模型的原理和适用范围，然后根据经典PCA的不足引出了Robust PCA模型，并给出模型的适用范围。此后，根据相关的研究给出了RPCA模型求解算法，并基于不精确的拉格朗日乘子法的MATLAB程序包，分别在合成数据和监控视频数据上进行了实验。
本文的组织结构如下：
第一章 绪论 该章节阐述了低秩矩阵恢复模型的研究背景以及最近的进展，而后给出了低秩矩阵恢复模型的一些典型应用，它具有广阔的应用前景。
第二章 预备知识 简略介绍了与矩阵论相关的一些基本概念，这便于下文对模型的描述。
第三章 低秩矩阵恢复模型 在该章节中,我们详细的阐述了PCA模型和RPCA模型，给出了PCA模型的原理和PCA不适用的情况（包含大噪声），并由此引出了RPCA模型，同样也分析了模型的适用情况以及能够正确求解的条件。
第四章 模型求解算法 本章节主要讨论了两种算法——迭代阈值算法（IT）和拉格朗日乘子算法（ALM）。
第五章 实验 比较了ALM算法的两种实现精确的ALM算法（exact-ALM）和非精确的ALM算法（inexact-ALM）的性能。并将inexact-ALM算法应用于视频背景建模。
第优尔章 总结与展望 简要总结了本人所做的工作以及该课题研究展望。
2 预备知识
2.1. 向量范数与矩阵范数
定义1：向量p范数——设向量 ，则向量 的p范数
，其中p>0。
另外规定，当p=0时， 为向量 非0元素的个数；
当 时， 。
定义2：矩阵范数——矩阵的范数是一个从 线性空间到非负实数域R上
的一个函数，记为 。设矩阵 ，
F范数（Frobenius范数）： ；
(1,1)范数： ；
0范数：矩阵A中非0元素的个数；
范数： 。
注：在本文中，为了表示方便，用 表示矩阵A的(1,1)范数。
定义3：矩阵的内积——对于矩阵 ，它们的内积
。
2.2. 奇异值分解（SVD）
矩阵 且 ，它的奇异值分解为
其中， 和 均为正交矩阵；对角矩阵
且对角元素满足 。记 ， )，则有
和 分别为奇异值 的左奇异向量和右奇异向量。
矩阵A的谱范数定义为 ，核范数定义为
其中， 表示m阶单位阵； 表示矩阵的求迹算子。容易证明矩阵A的核范数可以用它的奇异值表示，即 。
3 低秩矩阵恢复模型
在许多实际应用中，许多常用的模型都基于这样一个假设——相关数据取自或近似取自一个低文线性子空间。同样基于这样的假设