基于Grouplet变换的图像去噪研究+文献综述(4)
在最大的尺度上，每一个规范化的平均系数也可以表示成信号f[n] 与平均Grouplet向量 的内积：
2.1.4 逆正交Grouplet变换
因为Grouplet基的正交性，输入信号可由其grouplet系数重构：
类似于快速逆Haar变换, 快速grouplet逆变换将正向Grouplet变换的每一个算子顺序颠倒过来且尺度2j从2J减到1。
在最大尺度2J上，根据关联域重新计算平均支撑矩阵。初始化s[m]=1对所有 和j从1变换到J且对所有 ，
（2-10）
在最大尺度2J上，规范化平均系数 被反转
（2-11）
每个分组变换在每一尺度上都以对应的反序做反变换。j从J变化到1和n从Nj变化到1，令 和 。反演分组变换,通过 的逆计算：
（2-12）
细微尺度的平均系数通过大尺度的平均系数和差异系数通过反转算子计算
这些重构值是储存在 和 中。在这个对所有的分组和所有的尺度进行循环反计算的最后阶段，这个逆变换重构初始信号对 ，a[m]=f[m]。
2.1.5 多尺度关联域和最优基
有多少信号抽号样本就有多少Grouplet正交基。多尺度关联域的计算等同于选择一个“最优”的基来分解一副图像。重构不仅包括grouplet系数dj[m]还有关联域Aj[m]。对于图像压缩应用时，不仅要对Grouplet系数进行编码也要对关联域进行编码以得到尽可能小的字节数。对于差异系数中那些经过量化后非零的系数需要一些字节来对其进行编码。这意着每一个 应该对应一个点 使得 尽可能的小。是否能够高效地对关联域进行编码依赖于其正则性，正则性较高的只需要较少的小波系数进行编码，故只需要计算产生高稀疏性的正则关联域。正交 Grouplet 基具有灵活的几何结构，但是它的字典比“树形结构”的wedglets bandlets小波的要复杂。优化多尺度关联域以最小化Grouplet 信号压缩的变形率变得很复杂，这就远离了本文讨论的范围。在文献[11]中可以找到应用于视频处理的Grouplet字典库属性的数学分析。接下来介绍将会在数字实验中应用到的一种简单的块匹配算法。
块匹配运算经常用于视频分析中用于计算偏移。对每个 的最好的匹配的寻找是在 内的点 的附近进行的，记作 。一个块匹配要计算对于所有的 的 或 空间的距离，这个距离是在点p附近 的点B(P)块和在 附近的相关块之间的，且当p=m时他们之间的距离最小是：
（2-15）
如果每个块B(P)都有p个点并且每个相邻的 都有K个点，那么对于一个大小为 N的信号这个模块匹配就要求 O(K P N)算子去计算所有的关联域系数。这就远大于计算Grouplet 系数结果需要的计算量O(N)。当增加 B(p)的尺寸P时，关联域的规则性就增加了。但在距离最小化方面中心点p的中心就变得相对地不重要，这样会增加最优差分 匹配的产生。减少邻域的K值也会减少关联域值域的范围，但是减少潜在的关联也可能会增加最优差分 的匹配。块的大小和邻域大小的选择是对Grouplet系数稀疏化和多尺度关联域的复杂性的平衡。