致谢 25 

参考文献 26

1 绪论 

随着现代科技的发展，在生活中出现的数据的量越来越大，数据的采样和处理方式显得 尤为重要。乃奎斯特信号采样定理是我们传统常用的采样定理，它阐述了如果要准确的重构 原始信号则信号的采样频率应该达到信号带宽的两倍以上。经典的信号处理过程是先对信号 进行采样，再将采样得到的数据在不影响信号恢复的准确性的情况下进行压缩（采样和压缩 是分开进行的）传输和解压缩。但在现实生活中，随着信号的带宽越来越宽，若按照传统采 样定律进行采样不仅采样时间很长，得到的十分庞大的数据量在传输和存储上也有很大的压 力，传统的采样定律在信息化程度高的现状下弊端日益凸显。传统信号处理方法在压缩采样 数据时主要是对信号进行一些变换，如常用的小波变换，在变换之后只保留少部分绝对值很 大的变换系数，而舍弃掉大部分的小系数，这样做会损失掉大量采样时得到的数据，是相当 浪费的。既然知道大部分数据是冗余的并且在采样后会被丢弃掉，那为什么不能在少采样的 前提下直接采样得到信号的更具本质特征的信息呢？ 2006年，Candès和Donoh第一次正式提 出了压缩感知的概念[1]，该理论一经提出之后便引起了相关研究机构的广泛关注，得到了空 前的发展。压缩感知理论不再受制于乃奎斯特定理中对采样频率的限制，提出了一种新的全 局非自适应性的采样方式，这种采样方式旨在挖掘信号更本质的信息，将采样和压缩的过程 合为一体，同时进行，由于挖掘了信号更本质的信息，采样的数据大幅度的减少，减轻了数 据传输的压力，出色的避免了传统信号采样定律中资源浪费的缺点。论文网

压缩感知理论在图像和信号处理方面取得了很大的进展，它的成功证明了带宽并不是反 应信号本质信息的决定性因素。压缩感知的采样利用了自然信号的稀疏性，采样方式反映了 信号更本质的结构信息。压缩感知理论指出[2]：当信号在某个变换域是稀疏的或可压缩的， 可以利用与变换矩阵非相干的测量矩阵将变换系数线性投影为低维观测向量，同时这种投影 保持了重建信号所需的信息，通过进一步求解稀疏最优化问题就能够从低维观测向量精确地 或高概率精确地重建原始高维信号。压缩感知理论最重要的即是非相干性和稀疏性，这两点 在后面都会有所介绍。

目前压缩感知理论的应用十分广泛，主要应用在核磁共振成像[3]、压缩雷达成像[4]、旧电 影修复[5]、遥感成像[6]、压缩采样荧光显微镜[7]、人脸识别[8]、图像超分辨率重建[9]、编码频 闪摄像[10]等等方面。目前，RICE 大学已经成功的研制出单像素相机[11]，与以往图像处理通过 增加像素点探测传感器来增加图像质量不同的是，单像素相机成功的运用了压缩感知理论， 只利用一个探测器，减少了需要使用硬件设备和成像的成本。以前核磁共振成像具有采样时

间长，需要大量前端传感器的缺点，近年来，将压缩感知理论成功的运用在核磁共振成像上， 减少了前端传感器，节约了硬件设备，大幅度的改善了成像的效果，降低了成像的成本。

为了获得更好的图像重构结果，近年来，学者将图像的自相似性运用在图像重构但中并 且取得了很大的进展。利用由相似块的向量形式组成的矩阵具有低秩特性，因此秩最小化问 题是解决基于非局部相似性图像重构问题的关键。由于秩最小化问题是 NP 难的，由此提出 了很多用其他函数替代秩作为目标函数的算法，比如使用核范数，该问题可以用奇异值阈值 的方法解决[11]，最近提出的 NLR 算法[12]使用 logdet 作为秩的替代函数，获得了很好的图像重 构结果。本文 NLR 方法的基础上提出使用 Schatten p-norm 作为秩的替代函数，并且进行了大 量的实现来证明改进后的算法比 NLR 有更好的重构效果。