本文的第一章介绍了压缩感知理论的提出，研究目的和意义及压缩感知的主要应用；本 文第二章主要介绍了压缩感知理论的基本内容和框架，主要包括三个方面：信号的稀疏表示， 测量矩阵的设计和重构算法的优化；本文的第三章介绍了一种基于非局部相似性的重构算法， 通过使用 Schatten p-范数作为秩的替代函数使得算法重构效果有所提升；在第四章中用大量 的实验证明了该算法不仅在视觉上和 PSNR 和 SSIM 指标上都优于其他几种重构算法。

2 压缩感知的主要内容 

2。1 信号的稀疏表示

信号稀疏性或者说变换的稀疏性是压缩感知理论成功很重要的先验知识，对于一个信号

x CN ，定义其支撑集supp x i : x 0，若 supp x K 则称信号 x 是 K -稀疏的。对于大部

分的原始信号可能并不具有稀疏性，但可能经过某些变换之后得到的等价向量具有稀疏性， 参考有损压缩在图像和音频处理的广泛应用，若原始信号本身是非零的，但经过某些变换之 后得到的变换系数中仅有少部分是很大的，而大部分都是零或者接近于零的，那么称这个信 号是可压缩的。例如成功运用在现代图像压缩标准——JPEG 2000 中的小波变换，对于大部 分的信号，经过小波变换之后都能成功的压缩，压缩后的少部分的大系数反映了信号的主要 信息，这种通过稀疏变换实现压缩的方法称为变换编码，这种变换后的稀疏性是很多信号图

像处理的前提。即对于一个信号 x CN ，若在 域上的一组正交基为

，若信号 可以表达成如下的形式：

其中 a a1, a2,。。。, an ，且 a 的分量中仅有不超过 K 个是非零的，则信号可被稀疏表示，称

为变换基， a 为变换向量，由此可见原始信号 x 可由向量 a 等价表示。 上面的过程是稀疏表示的主要思想，通常将用来稀疏表示信号的所有的向量的集合称作

稀疏字典，将向量称作原子。研究结果表明，足够稀疏性能使最终重构的效果更好，因此如 何设计和选择稀疏字典从而使信号稀疏表示的时候获得足够的稀疏性是压缩感知研究的重点 之一。常用变换基有离散余弦变换基、快速傅立叶变换基、离散小波变换基、Curvelet 基、 Garbor 基以及过完备字典。过完备字典由大量的冗余原子组成，不仅仅用单一基来表示一个 信号，虽说相比与单一基的字典来说其原子是冗余的，但其具有更强的稀疏表达的能力。对 于自然图像中的多变结构，过完备字典比其他单一基字典表现出了更好的适应性，但由于存 在大量的冗余原子，想要保证字典的正交性是很困难的。

2。2 测量矩阵

对于一个原始信号 x RN ，其采样过程可以描述为：

其中 x 是待采样的原始信号， yk 是对信号进行一次采样后得到的测量数据， k 是采样函数。 压缩感知采样理论可以描述为对待采样信号 x 进行 M 次采样得到 M 维的测量数据向量 y RM 的过程，即：

y x （2。3）

其中 i 是一个 M N 的测量矩阵，由 M ≺ N 可知测量矩阵是矮胖的。压缩感知测量的 过程就是进行投影的过程，将高维原始信号的信息投影到低维度测量向量当中。那么测量矩 阵 应该满足什么条件才能保证采样得到的测量值可以通过重构算法准确的重建呢？文献 [13]中介绍了当测量矩阵 满足 RIP（约束等距性）原则时，可以保证原始信号准确的重构， 即：