（2-2）

在不考虑系统势能变化的情况下：

                                                      （2-3）

                      （2-4）

                                                   （2-5）

所以有：

                                                （2-6）

这就是单自由度系统的动力学微分方程。由于弹自由度系统只有一个广义坐标，在书写时可以省略下标“1”，于是有：

                  ，                      （2-7）

2.2.2  链式弹仓的运动方程

    在此次运动分析中，将图中构件均看做刚体，不考虑构件的弹性变形、运动副之间的间隙以及构件尺寸的加工误差，此时弹仓表现为单自由度机械系统，取主动组合链轮为等效构件，根据单自由度刚性系统动力学分析方法来建立弹仓的运动方程，将转角定义为广义坐标，利用拉格朗日方程来建立系统的动力学方程，根据公式（2-7）得出如下结果：

                                              （2-8）

式中，等效力矩，其中：

                                         （2-9）

 式中，为作用在弹筒上的外力，这包括重力以及弹筒滚轮与轨道的摩擦力；为外力作用点的速度，为作用方向和方向之间的夹角；为电机的驱动力矩；、和分别为总的传动比，齿轮2、3到蜗轮的传动比，以及蜗杆蜗轮副的传动比；、和为对应各传动比的机械传动效率。为等效构件（即主动组合链轮）的角速度。

式中，为等效转动惯量：

        （2-10）

式中，为第个弹筒的角速度；为第个弹筒质心的速度；、、和分别为电机和齿轮1，齿轮2和齿轮3，齿轮4和蜗杆，以及主动组合链轮的转动惯量，从动组合链轮的转动惯量与主动组合链轮相同。

等效质量和等效转动惯量与传动比有关，而与机械的真实速度无关，为此同样可知等效力矩可以在不知道真实的机械驱动件的真实运动情况下求出。其中的等效力矩由电机的驱动力矩、制动力矩等效于主动组合链轮上的力矩、重力作用于弹筒上形成的等效力矩、作用于各构件上的摩擦力形成的等效力矩诸项构成。

在传动元件中，用效率表示齿轮传动间的摩擦影响，取弹筒与轨道之间的摩擦系数为0.15。

为了求解（2-8）式，必需要求出等效力矩和等效转动惯量。

首先，要对31个弹筒的运动情况进行分析。在31个弹筒中，除了弹筒1、2、3、16、17、18、19不作平动外，其余全部弹筒都作平动。其中，弹筒1在90°周期内作平面运动，弹筒2在90°周期内作定轴转动，弹筒3在90°周期内作平面运动。弹筒16在0°——45°范围内作平动，在45°——90°范围内做平面运动。弹筒17在0°——45°范围内作平面运动，在45°——90°范围内作定轴转动。弹筒18在0°——45°范围内作定轴转动，在45°——90°范围内作平面运动。弹筒19在0°——45°范围内作平面运动，在45°——90°范围内作完全的平动。