摘要对于高等数学的学习者来说，无穷级数的敛散性是学习的重中之重，而仅仅通过收敛原 理不能解决大部分级数的敛散性问题。因此本文归纳总结了正项级数与任意项级数的判别方 法，如比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法等，同时给出部分判别法的证明以及相关 例题，令学习者形成一个较为系统的数项级数敛散性判别法框架，更加深入熟练地掌握这部 分内容。88029

Abstract Learning the convergence and pergence of infinite series is the most important part for learners of advanced mathematics, but the convergence and pergence of most series can not be solved by the principle of convergence。 So in this paper, we summarized the discriminant analysis of positive series and arbitrary series, such as comparative analysis, Cauchy discriminant analysis, Abel discriminant analysis, etc。 At the same time, we give the proofs of some discriminant analysis and examples, in this way, learners can form a more systematic frame about discriminant analysis of convergent series and deeply understand this part of knowlege。

毕业论文关键词：级数； 收敛； 判别法

Keyword: series； convergent； discriminant analysis

目 录

一、 引言 4

二、 级数的敛散性 4源-于,优W尔Y论L文.网wwW.youeRw.com 原文+QQ75201,8766

（一） 级数的部分和定义 4

（二） 级数的敛散性定义 5

三、 级数收敛的判别方法 5

（一） 正项级数收敛的判别方法 5

1。 比较判别法 5

2。 Cauchy 开方判别法 7

3。 D’Alembert 判别法 8

4。 Raabe 判别法 10

5。 Gauss 判别法 12

（二） 任意项级数收敛的判别方法 14

1。 Cauchy 收敛原理 14

2。 绝对收敛与条件收敛 15

3。 Leibniz 判别法 15

4。 Abel 判别法和 Dirichlet 判别法 17

四、 级数收敛性的应用 19

五、 总结 20

一、引言

级数是数学分析中非常重要的一块内容，关于级数敛散性问题，国内外已有许多学者进 行了深入研究，得到了许多有用的研究成果。王辉[1]在《无穷级数的发展演化》一书中，主 要撰写了级数的发展历史：18 世纪，虽然数学家们对无穷级数的敛散性有所认识，并且偶 尔给出几个判别法，但是由于发散级数在实际的应用中得到了许多有用的结论，而且当时也 没有敛散性的概念，所以级数的发展都是形式上的。除了莱布尼茨给出交错级数的判别法以 外，当时没有人提出过一个真正的级数判别法。牛顿也只是断言幂级数至少和几何级数一样。 到了 19 世纪，柯西较为严格地建立了级数理论，提出了判断级数收敛的柯西准则，以From~优E尔L论E文W网wWw.YoUeRw.com 加QQ7520.18766

及正项级数的一些特殊判别法和绝对收敛的概念。波尔查诺(bernhard bolzano)也对分析严 格化做出了自己的努力，他的思想则与柯西类似[2]。 Dugac[3]从总结魏尔斯特拉斯的研究工 作中分析了级数的一致收敛性。而汪晓勤[4]在《19 世纪上半叶的无穷级数敛散性判别法》中， 通过对 19 世纪几位数学家工作成果的梳理，得出只有具备可重复性、机械性的判别法才有 普适性的结论。