插值在求解结构动力响应中的应用(3)
1.3 应用领域
任何结构所受的载荷都具有不同程度的动载荷性质，有不少结构主要在振动环境下工作。因此，结构动力学的内容十分丰富，涉及面很广，其研究对象遍及机械、运输、土木、航空等工程领域，而研究方法又同数学、力学和材料学密切相关。在18世纪的后半叶，瑞士的丹尼尔第一•伯努利首先研究了棱柱杆侧向振动的微分方程。计算棱柱杆侧向振动的固有频率的公式就是瑞士的L.欧拉求解了这个方程并建立的。1877～1878年间，英国的瑞利发表了两卷《声学理论》，书中具体地讨论了诸如杆、梁、轴等弹性体的振动理论，并且提出了著名的瑞利方法（瑞利原理）。1908年，瑞士的W.里兹提出了一个求解变分问题的近似方法，后来被人们称作瑞利－里兹法。在很多学科中（包括结构动力学在内）也发挥了非常大作用的瑞利方法就是由此推广的。1928年，S.P.铁木辛柯发表了《工程中的振动问题》一书，书中总结了弹性体振动理论及其在工程中应用的情况。这几十年来，因为科学探索的兴趣和工程实践的需要，人们进行了非常多的实验和理论研究工作，使这门学科不管在理论分析还是实践方面都获得了高度的发展。
1.4 研究内容
本课题主要研究了插值在逐步积分法中的应用。
第一部分是简要介绍结构动力响应的几个典型数值方法。简要介绍几个典型数值算法：Newmark法，Wilson法，中心差分法和精细积分法。
第二部分主要考虑插值在求解结构动力响应方面的应用。主要参考袁晓彬等的两篇文章---《基于二阶拉格朗日插值求解动力响应的逐步积分法》和《双参数hermite插值逐步积分求解结构动力响应》。前者作者针对结构动力学问题， 利用二阶拉格朗日插值，构造了求解结构动力学响应的一种新的逐步积分法。后者则通过三次Hermite 插值在局部时间域上对位移、速度进行离散，给出了逐步递推计算格式；采用双参数控制算法的稳定性和计算精度。由于方程中有两个未知数难以求解，所以取两个不同参数θ以便求解。
本文实现了上述两个基于插值的求解动力结构响应的算法，并进一步通过实例与现有算法进行比较。通过分析比较发现，对第一种方法当取合适的参数值时算例的结果接近于解析解，计算精度是高的，这表明方法是可靠而有准确的。同时，此方法计算量少，计算误差低，是很有前途的逐步积分法。第二种方法相较于以前采用单一参数来控制精度和稳定性的逐步积分法，此方法采用了两个参数，无疑是有益的尝试，比前一种方法有更好的计算精度，更接近于解析解，同时计算精度更高，不过稳定性与取不同θ相关，值得进一步研究。
1.5 论文结构
本文共分为四章。
第一章绪论部分。
第二章求解动力学结构响应的典型数值方法。
第三章插值在求解结构动力响应方面的应用。
第四章总结与展望。
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