2 迭代的概念与操作

2。1 迭代的概念

我们先从迭代讲起。 

为了逼近所需目标或结果，我们需要重复反馈一个特定过程，这样的活动叫做迭代。 我们把这个反馈过程的一次重复叫做一次“迭代”，每一次迭代的初始值是上一次迭代的结果。 简单来说，迭代就是用自身的结构来描述自身。 可以将它比喻为程序设计中的递归算法。 也可以将它比喻为数学中的函数。 

我们知道，函数是数到数的映射。 就比如说，若给定 和参数 ，计算 ，其中 就是迭代。 若将函数值再次代入函数计算 ，这就是按照上述方法进行了二重迭代。 这个过程用几何画板有两种方法。 第一种是这样操作的：选中参数 ，选择迭代到 ，然后设置迭代次数为两次完成上述操作。 这是一个静态演示的过程。 如果我们再新建一个参数 ，顺次选择 和 ，按住shift键选择深度迭代，将原像 对应到初像 。 将 的值设为2完成两次迭代。 这就是第二种方法。 事实上，这里的 就是迭代次数。 如若我们对参数 设置动画按钮，参数 的变化就能引起迭代相关对象的动态变化。这样，就会产生一个动态变化的过程。 

从上述表述中，我们不难发现迭代有两种方式。 其一是简单迭代，先选中原像，执行菜单中的<变换/迭代>选项，在弹出的“迭代”对话框中选择与原像点相对应的初像点以及迭代次数，确认无误后执行迭代，得到固定迭代的像。 其二是含参数的迭代：新建一个参数 （取正整数），利用参数控制迭代次数，这时执行的是深度迭代。 

2。2 圆的内接正多边形文献综述

介绍完迭代的概念和两种迭代的方式，我们用几何画板来画圆的内接正多边形，希望能够通过这样的方式对迭代产生一种理性的认识。 

我们不难做到在圆内做出一个正多边形内接于圆，该多边形的顶点都在同一圆周上，这就是圆的内接正多边形，该圆则称为正多边形的外接圆。 由于是正多边形，故我们需要把圆周 等分，顺次连结各个分点，得到的图形就是圆的内接正 边形。 

在这里也顺便说一下，如果我们同时在圆外做一个正多边形外切于圆，当边数 增大时，圆的内接和外切正 边形的周长趋近于圆周长，它们的面积也趋近圆面积。 希腊和中国古代的数学家们体会到这种符合近代极限理论的思想，都曾由此计算出圆周率的近似值。 

下面以正七边形为例进行说明。 

由正七边形的特征，我们知道当在圆周上取定一个点时，单击菜单中“变换”—“旋转”，旋转参数设置为选择固定角度，下方框中输入“ ”，之后的每一个点都相当于前面的点逆时针旋转“ ”，由这个规律，我们可以利用迭代功能来画圆的内接正七边形的图像。 如图1所示。 

图1  圆的内接正七边形做法演示

2。3 圆的任意内接正 边形

我们发现上述方法每次都是旋转同样的角度，很大程度上限定了迭代规则。 为了使结果具有一般性，我们很自然想到迭代规则与迭代次数是否可以用参数来控制。 答案是肯定的，下面给出圆的任意内接正 边形的画法