摘要：微分中值定理反映了函数与导数之间联系。 它是微积分学的重要理论基础。 本文首先探讨了微分中值定理之间的关系，然后应用它们来证明方程根的存在性、求极限以及证明含中值的不等式和等式。

毕业论文关键词：微积分学，微分中值定理，导数92856

Abstract：Differential mean value reflects the connection between function and derivative。 It is an important theoretical basis of calculus。 In this paper, we first discuss the relation between differential mean value。 Then we use them to prove the existence of the root of the equation, take the limit and prove the inequality and equality of the median。

Keywords：Calculus, differential mean value, derivative 

目   录

1　前言4

2　微分中值定理的基本内容4

  3　三个微分中值定理的联系6

4　微分中值定理的应用6

  4。1　证明方程根的存在性6

  4。2　求极限8

  4。3　含中值的等式8

  4。4　多个中值点的情形10

  4。5　证明不等式11

4。6　证明函数一致连续13

  5　泰勒定理的应用14

  结论16

参考文献17 

1  前言来自优O尔P论R文T网WWw.YoueRw.com 加QQ7520`18766

微分中值定理是用来讨论如何用 的已知性质来推断函数 所应具有性质的有效工具，是微积分的重要组成部分。本文首先对罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的关系进行探讨，然后进一步说明微分中值定理在解题中的应用。

在整个应用中，微分中值定理同相关命题的证明方法中出现的情形不是以上四个定理的某个直接结论，必要的时候需要构造恰当的辅助函数，以达到数学问题的等价交换，而怎么构造恰当的辅助函数往往是难点，本文将结合理论与实际阐明微分中值定理的重要性。

2  微分中值定理的基本内容

微分中值定理揭露了函数在某区间上的性质和区间内某一点处的导数之间的关系，将整体和局部联系起来，是微分应用和其自身发展的理论基础，所以说微分中值定理是整个微分学的基本定理[2]。 它在微分学中占有举足轻重的地位。

定理1[1] （罗尔（Rolle）定理）若函数 满足如下条件：

（1） 在闭区间 上连续；

（2） 在开区间 上可导；

（3） ，

则在 上至少存在一点 ，使得

罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线[1]。

注[1] 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。

定理2[1]  （拉格朗日（Lagrange）中值定理）若函数 满足如下条件：

    （1） 在闭区间 上连续；

（2） 在开区间 上可导；论文网

则在 上至少存在一点 ，使得

拉格朗日中值定理的几何意义：在满足定理条件下的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两点的连线[1]。

下面给出拉格朗日公式的几种等价的表示形式，以便在不同场合选用[1]： 值得注意的是，拉格朗日中值公式无论对于 ，还是 都成立，而 则是介于 和 之间的某一定数。 而（2。2）、（2。3）两式的特点，在于把中值点 表示成了 ，使得不论 为何值， 总可为小于1的某一正数[1]。

推论1[1]  若函数 在区间 上可导，且 ， ，则 为上 的一个常量函数。