摘要：通常常微分方程教材中，称 n 阶常微分方程的含有 n 个独立的任意常数 c1 , c2 ,。。。, cn 的解 y w(x, c1 , c2 ,。。。, cn ) 为该方程的通解，一般对通解中任意常数的独 立性没有给出严格的数学定义。本文收集整理了常微分方程通解中任意常数独立 性的严格定义和判定法则，深入研究了通解中任意常数独立的意义，找到了多个 判定法则及应用。85985

毕业论文关 键 词 ： 常微分方程，通解，任意常数的独立性

Abstract： In ordinary differential equations teaching materials, the solution of n-th order ordinary differential equations with n independent constants is the general solu- tion of this equation, and the independence of any constant in general solution is not given strict mathematical definition。 In this paper, we collect the strict definition and judgment rule of arbitrary constant independence in general solution of ordinary differential equations, and study the meaning of any constant independence in general solution, and find many judgment rules and applications。源Q于W优H尔J论K文M网WwW.youeRw.com 原文+QQ75201.,8766

Keywords：Ordinary differential equation ，General solution ，The independence of the arbitrary constants

目录

1 引言 4

2 常微分方程通解中任意常数独立性的定义 5

2。1 研究背景 5

2。1。1 常微分方程的解与通解 5

2。2 任意常数的独立性 6

2。3 n 阶齐线性微分方程的线性相关，线性无关和独立性的关系 9

3 具体应用及例子 12

3。1 实例分析 12

4 n 阶线性常微分方程组中来自优W尔Y论W文C网WWw.YoueRw.com 加QQ7520,18766 任意常数的独立性 15

4。 1 齐次线性微分方程组中任意常数的独立性 15

结论 18

参考文献 19

1 引言

常微分方程是大学高等数学学习中的一门重要课程，常微分方程的解的学 习更是这门课程中最基础的知识。而常微分方程通解是一把用来研究常微分方程解的“重要钥匙”，所以说掌握常微分方程通解的定义非常重要。通常常微分方 程教材中，称 n 阶常微分方程 F x, y, y,。。。yn 0 的含有 n 个独立的任意常数 c1 , c2 ,。。。, cn 的解 y w(x, c1 , c2 ,。。。, cn ) 为该方程的通解，一般对通解中任意常数的独立性没有给出严格的数学定义。这就是我们为什么要研究这篇论文的意义。 本文收集整理了常微分方程通解中任意常数独立性的严格定义和判定法则，

为了更加深入研究通解中任意常数独立的意义，引用了首次积分。找到了特殊情 况下任意常数独立的情况。并且根据任意常数独立的定义找到一些简单的应用。 本文还收集到了 n 阶线性微分方程组情形下任意常数独立的情形，以及一些简单 的应用。论文网

从研究常微分方程通解中任意常数的独立性中达到对常微分方程通解更全 面的掌握和应用，为接下来常微分方程解的学习以及后续常微分方程的学习奠定 基础。

2 常微分方程通解中任意常数独立性的定义

2。1 研究背景

我们知道微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数的等 式。如果其中的未知函数只和一个自变量有关，则称为常微分方程。