摘　要：直线束和平面束是解决解析几何问题的一个十分有效的工具，在数学与实际问题中也有着广泛的运用，所以理解并掌握直线束和平面束方法就显得非常重要．本文研究空间线束与面束的相关概念及性质，讨论直线束和平面束在各类题型中的应用． 94997

毕业论文关键词：直线束，平面束，方程，应用

Abstract: line pencil and plane pencil is a very effective to solve the problem of analytic geometry tool, has been widely used in mathematics and the actual problem is applied, so to understand and grasp the line pencil and plane pencil method is very important。 This article studies the relevant properties and applications in all kinds of questions of line pencil and plane pencil。

Keywords: line pencil, plane pencil, equation, application

目　　录

1　引言4

2　预备知识4

3　直线束及其方程4

3。1　平面直线束及其方程5

3。2　空间直线束及其方程5

4　直线束的应用5

4。1　平面直线束的应用5

4。2　空间直线束的应用6

5　平面束及其方程8

6　平面束的应用8

6。1　点到直线的距离8

6。2　切平面方程的求解9

6。3　异面直线的距离10

6。4　直线在平面上的投影10

6。5　求约束条件下过直线的平面方程11

结论13

参考文献14

致谢15

1  引言

在高等数学中，解析几何里的直线、平面以及它们的相互位置关系是非常重要的内容．空间线束与面束在直线和平面方程的求解中有着广泛的应用，运用线束和面束的方法能够解决一些数学中难以解决的问题．

在求解约束条件下的直线、平面问题时，一般会寻找待求直线的方向向量或平面的法向量以及平面或直线上的一个点，分别利用对称式和点法式分析，使用这种方式求解会使问题复杂化，合理运用直线束和平面束方法不仅能使问题变得简洁明了，还能体现出简单而巧妙的思维逻辑[1-4]．本文介绍线束与面束的相关概念性质，研究直线束和平面束在各类题型中的应用． 

2  预备知识

在空间给定一个点 和非零向量 ，那么过点 且与向量 平行的直线便唯一确定，直线的向量形式参数方程是 （其中 ， ， 是参数）．

利用坐标表示，可得直线的坐标形式参数方程为 ．消去参数 ，得到直线的标准方程为 ，也叫做直线的对称式方程．

直线的一般式方程是将直线看作两个相交平面的交线，由 和 所确定的直线为

  ．

在空间直角坐标系中， 和 为两条异面直线方程，则异面直线 和 之间的距离为

 ，

其中 、 是直线 、 上的点， 、 是直线 、 的方向向量．

3  直线束及其方程

3。1  平面直线束及其方程

定义1　平面上通过一点的所有直线的集合叫做中心直线束，那个点叫做中心直线束的中心．具有固定方向的所有直线的集合叫做平行直线束，固定方向叫做直线束的方向．中心直线束和平行直线束统称为直线束．

定理1　给定两条平面直线 和 ，则方程

 表示直线束，其中 和 是两个不全为零的任意实数．

当 时，直线束是以 和 的交点为中心的中心直线束．

当 时，直线束是与 （或 ）方向相同的平行直线束，也可以简记为

 ， 是常数．

3。2  空间直线束及其方程

定义2　 和 是两条相交不重合的空间直线，通过 和 的交点并属于 和 所共平面的所有直线称为由 和 所确定的直线束．