在矩阵特征值的研究过程中,前人已经给出了其相关性质以及应用广泛的Gerschgorin圆盘定理 、Ostrowski定理 等等。在这些前人工作的影响之下,我们得到了许多矩阵特征值的计算方法,比如二分法 、Jacobi方法 、QR方法 ;在矩阵特征值估计方面也取得了不少成就,比如矩阵特征值的界的估计 、矩阵谱半径的估计 。
随着伴随矩阵 、广义Jacobi矩阵 、M-矩阵 、Hermite矩阵 及随机矩阵 等特殊矩阵广泛的应用,对这些特殊矩阵的研究也得到了人们日益的重视。
矩阵特征值的应用范围之广也是人们不断研究它的客观原因。本文中统计学方面的主元分析法 以及概率分布的Wasserstein距离 ,经济学方面的商品定价 ,物理学方面的惰性椭球原理 ,数学方面的Fibonaccis的数列问题 以及常微分方程组的稳定性的问题 都可以归结为矩阵特征值问题。如今人们不断地发现社会科学领域里的新需求,从而促进了矩阵特征值问题研究的深入。
本文首先在第二章介绍了矩阵特征值的相关定义以及性质,并对其连续性做了分析。在第三章,我们研究了一些特殊矩阵的特征值,并对相关矩阵特征值的计算、估计及其应用做了总结。在第四章,我们介绍了矩阵特征值的计算的几个方法,并对个别方法进行了优缺点比较。在第五章,我们对矩阵特征值的估计做了研究。第优尔章主要探讨矩阵特征值的若干应用。
2  矩阵特征值
2.1  矩阵特征值的定义
设 ,如果存在非零向量x,使得 ,则称 为A的特征值,x称为矩阵A从属于特征值 的特征向量,称n阶多项式 为矩阵A的特征多项式。显然A的特征值 是特征方程 的根 。
矩阵A的所有特征值 构成的集合称为A的谱 ,而特征值的最大模称为A的谱半径 ,即 。从几何角度,矩阵A的全部特征值都位于以原点为原心,谱半径 为半径的圆盘内 。
2.2  矩阵特征值的性质
   矩阵特征值的性质
(1)    矩阵A的行列式等于所有特征值的积;
(2)    矩阵A的迹等于所有特征值的和;
(3)    0不是A的特征值 A可逆即A非奇异;
(4)    设 是任意多项式, 是A的一个特征值, 是从属于 的特征向量,那么 是 的一个特征值, 是从属于 的特征向量;
(5)    相似矩阵具有相同的特征值。
2.3  矩阵特征值的连续性
   定理2.3.1  Ostrowski定理 :设矩阵 ,矩阵A和B的特征值分别为 和 。令 ,那么可以得到存在矩阵B的特征值 ,对于矩阵A的任意特征值 ,使得 ;另外对任意的 ,能够找到 的一个适当的排列 ,使得有不等式 。
   上述估计式中的 相对看起来描述有点不清晰,但是仍然可以描述出矩阵特征值的连续是依赖其元素的重要特性。而且该定理具体给出了与矩阵特征值的连续性相关的定量分析。
   矩阵A中元素的连续函数我们描述为矩阵A的特征多项式的系数,那么显然n次多项式的n个根就都是矩阵A特征多项式系数的连续函数。所以,我们可以认为矩阵A的特征值作为其特征多项式的零点连续依赖于矩阵A的相关元素。
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