非正常积分的敛散性的判别(2)
1.一元函数无穷积分
1.1无穷积分的概念
设函数 任何有限区间 上都是可积的,且在区间 上是有定义的,如果极限 存在,则称此极限 为函数 在 上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记作 ,并称 收敛,如果极限 不存在,那么称 发散.
类似地,可定义 在 上的无穷积分： .实际上,函数 在 上的无穷积分,即 ,对于任意的实数 ,当且仅当右边的两个无穷积分分别都收敛的时候, 才是收敛的.
注意：无穷积分 的收敛性与收敛时的值,都和实数 的选取无关.
1.2 无穷积分的性质
定理1.2.1 无穷积分 收敛的充要条件是：任给 ,存在 ,只要 , >G,便有 .
性质 若 与 都收敛, , 为任意常数,则
也收敛,且
.
性质 若函数 在任何的区间 上可积,其中 ,那么无穷积分 与无穷积分 是同时收敛的或者同时发散的,并且等式 ,显然,右边第一项 是定积分.
性质 若函数 在任何的有限区间 上可积,且有 收敛, 亦必收敛,并有 .
设函数 是定义在区间 上的非负函数,且在任何的有限区间 上均是可积的,由于无穷积分 是关于上限 是单调递增的,因此无穷积分 收敛的充要条件是无穷积分 在 上是存在上界的,则由此可得出比较判别法.
2.一元函数无穷积分敛散性的判别方法
2.1 比较判别法
设函数 是定义在区间 上的非负函数,且函数 在任何有限区间 上都是可积的,并且函数 满足 , ,那么当无穷积分 收敛时,则无穷积分 也是收敛的(或者,当无穷积分 发散时,则无穷积分 一定是发散的）.
例1 考察无穷积分 的敛散性.
解 令 ,满足 , .又
,
所以无穷积分 是收敛的.那么根据比较判别法,无穷积分 是
绝对收敛的.
推论1 若函数 和函数 都在任何的有限区间 上是可积的,当 时, , ,且 ,则有
(1)当 时, 与 同敛态;
(2)当 时,由 收敛可推知 也收敛;
(3)当 时,由 发散时推知 也发散.
特别地,如果选无穷积分 来作为比较的对象,那么我们会有如下的两个推论(我们把它称为柯西判别法).
推论2 设函数 是定义在区间 （ ）,并且在任何的有限区间 上都有
(1)当函数 满足 ,且当 时,无穷积分 是收敛的;
(2)当函数 满足 ,且当 时,无穷积分 是发散的.
推论3 设函数 是定义在区间 上的非负函数,函数 在任何的有限区间 均是可积的,并且极限 ,那么有
(1)当 , 满足 时,无穷积分 收敛.
(2)当 , 满足 时,无穷积分 发散.
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