极值最值的讨论及其应用(2)
1 极值和最值的概念及其异同
1.1 极值和最值的概念
1.1.1 一元函数极值的定义
设函数 在点 的某一个邻域是有定义的, 为这一邻域内部异与 的任意的一点,若均有 (或 ),则 为 的极小值（或极大值),我们把极大值和极小值合称为极值,我们把极大值和极小值点统称为函数的极值点.
1.1.2 二元函数极值的定义
设函数 对任何点 ( , )的某一领域内部是有定义的, 为这一领域内异与 的任意一点,若恒有 (或 )则 为极小值(或极大值).
1.1.3 一元函数最值的定义
设 为定义在 上的函数,若存在 属于 ,对一切 属于 有 (或 )则称 为 在 上的最小值(或最大值).
1.1.4 二元函数最值的定义
设 为定义在区域 上的函数若存 属于 ,对一切 属于恒 有 (或 )则称为 为 在上 最小值(或最大值).
1.2 极值和最值的区别
定理1.2.1 极值点必须是定义区间上的内部的点,最值点可以是区间上任何一点,当定义区间是闭区间时最值点可以取到端点,而极值点不能取到端点.
定理1.2.2 极值反映的是函数在某个邻域上的局部性质,最值反映的是函数在整个区间上的性质.
注(1)如果函数 在某区间上有定义,并且有极大和极小值则极大极小值不是唯一的.
(2)如果函数 在某区间上有定义,并且有最大最小值则最小值必定是小于最大值的.
(3)函数有极值时可以没有最值,有最值时也可以没有极值.
(4) 作为极值必须比其领域内任意一点处的函数值都大或都小且不能等于,而最值是可以等于的.
1.3 极值和最值的联系
定理1.3.1 若在 区间 上连续,并且在 上仅有唯一的极值点 ,则当 是 的极大(极小)值点时 必是 的最大(最小)值点.
定理1.3.2 如果函数的最值不在定义区间的端点取得,并且这函数在其定义的任何小邻域内都不是定值则最值必定为极值.
2 一元和二元函数取得极值最值的充分、必要条件
2.1 一元函数取得极值最值的充分、必要条件
2.1.1 极值的必要条件
若函数 在点 处取得极值,且函数在点 处可导,则 ,即可导函数的极值点必为驻点.
2.1.2 极值的充分条件
第一充分条件:设 在点 连续,在某邻域 上可导.
(i)如果当 时 ,当 时 ,则可知道 在 取得极小值.
(ii)如果当 时, ,当 时 ,则可知道 在 取得极大值.
极值的第二充分条件:若 在 的某邻域 内是一阶可导的并且在 处是二阶可导的,且 .
(i)如果 ,则 在 处取得极大值.
(ii)如果 ,则在 处取得极小值.
极值的第三充分条件:设 在 的某邻域内存在直到 阶导函数,在 处 阶可导,且 (k=1,2,...,n-1), .则
(i)当 为偶数的时候, 在 能够取得极值,并且可知当 时取得极大值, 时取得极小值.
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