Adomian多项式的计算及其应用(2)
6. Conclusion 19
7. Acknowledgement 20
8. Preferences 21
1.绪论
1.1Adomian分解方法的出现与发展
Adomian分解法[1]，又称逆算符方法，是美国数学物理学家George.Adomian在二十世纪八十年代首先提出并发展起来的，该方法可以用来解决很广泛的非线性方程或者方程组来描述的数学物理问题，具有很好的收敛性及容易计算，因而被广泛运用于线性和非线性微分方程的求解。这种方法考虑方程的解为一个无限级数的和，在方程级数形式的精确解存在的情况下，可以快速地收敛到初始条件指定的精确解的形式；若级数解无法收敛到方程所满足的初值条件所给的形式，那就可以获得近似解。
现实生活中的很多问题都设计到非线性数学物理问题，长期以来，人们的处理方法都是借助于线性化、平均法、微扰法、迭代或简化模型方程等方法来求解，或者是采用离散数值解法如差分法，有限元法、边界元法等方法来解决问题。然而，上面的这些方法要求条件都比较苛刻，而且，数值计算需要耗费大量的计算时间和存储空间，有时得出的结果也不能令人满意。出于对这些不足的考虑，人们开始致力于探索新的逼近解法，使其能够对线性、非线性甚至强非线性问题，给出所需精度的任意高阶的逼近解析解[2]。
Adomian分解法是一种系统地实现这一目标的理论方法，其特点是计算过程简单、使用范围广、收敛速度快，而且不需任何近似条件，就能够给出方程的高精度逼近解析解甚至精确解。然而，这种分解法也有许多缺点，如该方法的实现在很大程度上过分依赖于解析公式的推导，而且对每一个具体问题需要进行个别的推导，工作量大，所以很有必要研究具有普适性的算法和解析推导程序，使其效率有较大的提高[3]。
1.2Adomian分解方法的研究现状与应用
Adomian分解方法广泛应用于非线性方程中，目前已经有许多学者将其应用于非线性方程的求解，比如求解非线性分数阶积分微分方程，在某些非线性发展方程解的研究，非线性薛定谔方程[4]，求解分数阻尼粱的解析解[5]等。
正是由于其高效性和适应性，自从Adomian分解方法提出后，许多国内外的学者都加入该方法的研究中，非线性问题的求解也取得了很多的新成果。不仅加速了非线性方程求解方法的发展，也促进了Mathmatical, Maple等相关数学软件的发展
1.3 本文的研究目的和主要内容
本文在介绍Adomian多项式的计算方法之前先介绍了微分方程的幂级数方法。接着介绍了Adomian多项式的传统算法和新算法，目的在于通过介绍逆算符方法和Adomian多项式产生方法，用Matlab来实现算法，进而减少工作量，并简单地举了例子来验证该方法的有效性。
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