基于差分方程理论研究离散SEI结核病模型的动力学性态(2)
传染病在通常情况下进行传播是由于人与人相互接触感染.单位时间内感染个体与他人接触的次数称为接触率（contact rate）,它与环境中的总人数量有关,总人口数常用N表示,如果被接触者为容易感染者,那么在某种程度上可能会形成感染,因为区域的限制或周围情境的制约或种群数量规模超级大时,一个已感染患者能接触他人的数量是十分有限的.在该境况下我们假定接触率为常数k,每次接触后传染的概率为 ,则有效接触率 ,所以疾病的发生率为 ,它被称为标准发生率（standard incidence）,除了标准发生率外,还有双线性发生率（bilinear incidence）和饱和发生率(saturated incidence),根据发生率形式不同,则建立的传染病动力学的模型和难易程度就不同,而在本文中我们仅仅考虑标准发生率[10]情况下的疾病动力学模型.
对于传染病动力学模型常常会存在一个基本再生数,常用 表示,即当种群处于稳定状态且种群为易感类个体时,染病类个体侵入,染病类个体在染病期间平均传染给易感类个体的数量.因此 是判断疾病是否消亡的关键值. 表示一个染病类个体在染病期内平均传染易感类个体的最大数量小于1,此时疾病呈消亡趋势； 表示疾病一直存在,不会消亡,最终成为地方病.
1.2 差分方程的概念和定理
考虑n阶齐次常系数线性差分方程 (1.1)
这里A是一个 实常量矩阵, .
设A的特征多项式为
(1.2) 众所周知,要使(1.2)的平衡点x=0是渐近稳定的充分必要条件是系数矩阵A的特征值的模小于1.即
那么判定(1.2)的零点都在单位圆内,我们使用Jury判据.
首先构造Jury表格：
这样一直做下去,直到表的同一行中仅有三个元素为止.有了上面的Jury表格,我们可以给出如下的判别定理.
定理 1.1 (Jury判据[11] ) 多项式 的所有零点都是在 复平面之单位圆内的充分必要条件是
, , ,
, , . .
定义1.2 (Jacobi行列式[12] ) 设有方程组
,
函数F,G关于变量u,v的雅可比（Jacobi）行列式为 ,也可记作 .
1.3 离散控制系统的差分方程
卫生部门采集的传染病数据不是连续进行的,而是以一定的采样周期定时进行的.计算机的输出也是以一定周期进行,在两次输出之间控制作用不变.计算机对受控对象各个量采样一次后,就进行必要的运算,并把计算得到的控制作用输出到控制对象.人们称这种控制系统为采样控制系统或离散控制系统.
上一篇：基于MATLAB的3D图形设计
下一篇：复变函数论中幂级数的问题研究