(PI)π的计算综述(2)
2数学预备知识
2.1刘徽割圆术
刘徽采取的方法是用圆的内接正多边形逼近圆周从而导出圆周率。
他从单位圆的内接正优尔边形开始，逐步成倍地增加正多边形的边数。那么内接正多边形的面积就越来越接近单位圆的面积，其数值也就越接近圆周率。设an是第n步单位圆内接正多边形的边长，那么一开始，a1=1。当边数增加一倍成为正十二边形时，其边长为：
(1.1）
（1.2）
此时，正十二边形的面积为： (1.3)
而正 边形的面积为： (1.4)
该多边形的面积就近似等于π的值。
2.2数值积分
利用 =π来计算π，这时要对积分采取数值计算。
设 ，将[0,1]区间n=2m（即n为偶数）等分，记 , （k=0，1，2，……，n）。根据Simpson公式： 在区间[a,b]上的积分 。则在每个小区间 上的Simpson公式为： （i=0，1，……，n-1）从而 在[0，1]上的积分 。 (1.5)
2.3级数展开式
我们知道函数 的级数展开式为
(1.6)
取x=1，就有
即 (1.7)
注意当级数展开式中x的绝对值小于1时，级数的收敛会快得多，因此我们可以利用等式
如果将左端展开，那么有
(1.8)
注意此时若计算到第n项，那么误差将不超过 ，如果n=10，误差将不超过0.0000001，显然计算效率大大提高了.
2.4 蒙特卡洛算法
Monte Carlo方法也称随机模拟法,它是美国数学家冯•诺伊曼用世界著名的赌城———摩纳哥的MonteCarlo来命名的。它的基本思想是:通过设计一个随机试验,使一个事件的概率与某个未知数有关,然后通过重复试验,以频率估计概率,即可求得未知数的近似解,一般来说,试验次数越多,则求得的近似解就越精确。
上一篇：积分函数极限问题的探讨