矩阵复原问题的可解性研究
毕业论文关键词 约束核范数最小化；低秩矩阵恢复；最优收敛率；秩一投影；协方差矩阵
1.引言
低秩矩阵的复原指利用误差矩阵的稀疏特性以及原始数据矩阵低秩特性来还原矩阵.低秩矩阵的精确复原具有广泛的应用，包括量子态层析成象[3]，面部识别[1,12]，推荐系统[13]及线性系统的识别和控制.例如，相位复原中，一个问题出现在一系列信号和图像处理应用中，包括X射线晶体学，天文成像和衍射成像，都可作为低秩矩阵恢复问题[18].低秩矩阵的复原还可以通过同一时间完成背景以及前景的分离来实现背景建模以及前景运动目标提取的一种方法来实现.如果由两种特征比较明显的观测数据所组成的矩阵，它的两种成分的数据矩阵分别具有低秩特性和稀疏特性，那么这个矩阵便可以通过凸优化的方法来恢复出它的低秩成分及稀疏成分.
本文剩下的部分安排如下.在第2节，先介绍基本的符号和定义以及相关理论基础，我们在无噪声情况下进行低秩矩阵的精确复原并且建立足够的可识别性的状况.高斯有噪情况中介绍了约束核范数最小化估计.讨论在Frobenius规范损失下获得获得上下限的估计.第3节考虑扩展次高斯设计和次高斯噪声分布.基于一文投影的协方差矩阵估计的应用会在第4节详细讨论.最后是对本论文的总结.
1.1背景及问题
人类在生活和活动中会产生大量的数据，随着计算机的发展，人类的活动都被记录下来.不同领域的专家们通过研究数据,抽取出这些数据当中的规律，不仅可以使人们透过现象看到本质，而且能够为人们的生活带来更多的便利.
矩阵在现代科学以及工程领域中有很多不一样的意义.对于图像处理来说，矩阵可以表示一幅图像.统计领域中，不同的模型可以由不同的矩阵来表示.在这各种各样的应用中，我们为了更好的理解复杂的系统或者模型的性质以及行为，一种方法就是将比较复杂的系统或者模型分解成为若干个更简单的系统或者模型.低秩矩阵的恢复问题以及矩阵的秩的最小化的问题是由近些年来比较流行和有用的压缩传感技术推广而来.矩阵的低秩性指的是与矩阵行数或列数相比较的话矩阵的秩很小.
1.2相关概念与理论
矩阵的秩 线性代数中，A的线性独立的纵列的最大数目就是矩阵A的列秩.同样，A的线性无关的横行的最大数目就是行秩.特别规定秩为零的矩阵就称为零矩阵.
简单点来说，如果把矩阵看成是行向量（列向量），那么秩就是这些行向量（列向量）的秩，即极大无关组当中所含有的向量的个数.
矩阵的行秩和列秩总是相等的，所以可以直接的把它们称为矩阵A的秩.可以表示为 或 .
秩r的矩阵 我们说的短语“秩r矩阵”指的是最高是秩r的矩阵，并且由 代表所有的P×P对称矩阵.如果 用独立的分布P中 和 来按照 ， 定义，线性映射 称作ROP.
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