旋转椭球面上测地线的相关性质
毕业论文关键词:旋转椭球面 测地线 Clairaut定理 Gauss-Bonnet公式
Properties of the Geodesic on the Rotational Ellipsoid
Abstract Using the differential equation of the geodesic, the paper discusses several properties of the geodesic on the rotational ellipsoid, including the differential equation of the geodesic on the rotational ellipsoid and the length of geodesic line segment. This paper also proves a few special geodesic lines .the paper using the Clairaut theorem find out the third-class closed geodesic, in addition to the lines of latitude and longitude. The paper discuss the relation between several special geodesic triangle on the rotational ellipsoid and Gauss-Bonnet formula. The paper proves with different methods that there are only two kinds of planar geodesic on the rotational ellipsoid .
Key Words: rotational ellipsoid geodesic lines Clairaut theorem Gauss-Bonnet formula
目录
摘要Ⅰ
AbstractⅡ
目录Ⅲ
1绪论1
2旋转椭球面上的测地线2
2.1旋转椭球面上的测地线方程2
2.2旋转椭球面上的子午线为测地线3
2.3旋转椭球面上半径最大的纬圆是唯一一条纬圆测地线3
3Clairaut定理在旋转椭球面上的应用4
3.1旋转椭球面上既非子午线又非纬线的测地线段的方程4
3.2第三类闭测地线4
4旋转椭球面上测地三角形与GaussBonnet公式6
4.1在单位球面上,两正交的经线与测地纬线所围成的三角形的面积6
4.2在旋转椭球面上,现取两正交的经线与测地纬线所围成的三角形6
4.3在旋转椭球面上,取一经线,一测地纬线,一与纬圆相切的测地线所围成的测
地三角形7
5旋转椭球面上平面类型的测地线只有经线与半径最大的纬圆,即一平面所截
的椭圆除上述两类外都不是测地线8
5.1经过一坐标轴的平面所截的椭圆不是测地线8
5.2任意平面所截的曲线除经线与半径最大的纬圆外不是测地线9
6结论11
参考文献12
致谢13
1 绪论 众所周知,测地线有很多不错的性质,文献[1]介绍了了测地线的微分方程,以及通过微分方程得到了 Clairaut定理,但是没有就一种曲面进行深入的研究.本文是在旋转椭球面上求解出其测地线的微分方程,测地线段长度以及证明了几条特殊的测地线.并且利用 Clairaut 定理找出了一条空间的闭测地线.文献[2]指出了非常著名的Gauss-Bonnet 公式.本文讨论了在球面与旋转椭球面上由测地线组成的两种特殊的测地三角形面积与高斯曲率的二重积分之间的关系.文献[3]主要利用 Gauss-bonnet 公式证明了旋转椭球面上平面类型的闭测地线只有经线与半径最大的纬圆.本文利用不同的证明方法即曲线的主法线与曲面的法线重合,更一般的证明了旋转椭球面上平面类型的测地线只有上述两类. 2 2 旋转椭球面上的测地线 引理 1[1]:: IS 是测地线的充要条件是在每个区间JI 中适合方程（1）,实力区间J使得() J 包含在某一坐标领域内.方程（1）称为S的测地线微分方程. 1 2 1 1 211 12 222 2 1 2 211 12 22(u ) 2 v (v ) 0v (u ) 2 (v ) 0uuuv (1) 2.1 旋转椭球面上的测地线方程 根据引理1[1]我们可知旋转面的测地线的参数表示为 (u)cos x f u , ( )sin y f v u , () z g v 而我们可知以z 轴为旋转轴的旋转椭球面( ) cos f v a v ,g( ) sin v b v 所以我们可得旋转椭球面的参数方程为cos coscos sinsinx a v uy a v uz b v , 为方便起见,我们可先算出sincosf a vg b v , cossinf a vg b v 由文献可知Christoffel符号[1]为 111 0 ,211 22( ) (g )fff ,'112 2fff,212 0 ,122 0 ,122 22( ) (g )dyf f g gdxf 将这些量带入方程（1）变为 220ffu u vf （2） 222 2 2 2gg(u ) ( ) 0( ) (g ) ( ) (g )ff f fvvff 则旋转椭球面可得到方程 2sin0cosvu u vv （3） 2 2 2222 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos(u ) ( ) 0sin cos sin cosa v v a v v b v vvva v b v a v b v 2.2 旋转椭球面上的子午线为测地线 以弧长作参数的子午线满足条件u 常数,(S) vv , 由题意易知满足（3）的第一个方程. 下证满足第二个方程,即满足2222 2 2 2sin cos sin cos( ) 0sin cosa v v b v vvva v b v 又根据旋转椭球面子午线的第一基本形式为 2 2 2 2 2sin cos 1 a v b v v ,即 22 2 2 21sin cosva v b v 两边同时求导,可得 2 2 2 232 2 2 2 2 2 2 2 22 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos2 ( ) ( )( sin cos ) sin cosa v v b v v a v v b v vv v v va v b v a v b v 由此可得到第二个方程2222 2 2 2sin cos sin cos( ) 0sin cosa v v b v vvva v b v 故因为方程组（3）的两个方程都满足,因此子午线实际上是测地线. 2.3 旋转椭球面上半径最大的纬圆是唯一一条纬圆测地线 以弧长做参数的纬圆满足的条件v 常数,(S) uu . 先证在坐标平面上的纬圆一定为测地线 由题意知,过原点的纬圆0 v ,(S) uu .则满足（3）的第一个方程,第二个方程.所以过在坐标平面上的纬圆一定是测地线. 再证纬圆为测地线一定在坐标平面上 测地线满足（3）的第一个方程,所以' u 常数,而第二个方程变成 222 2 2 2sin cos(u ) 0sin cosa v va v b v 又因为 0 u ,2 2 2 2sin cos 0 a v b v ,( ) cos 0 f v a v , 所以 ( ) sin 0 f v a v 即0 v , 故此纬圆测地线只能在坐标平面上.且是唯一的.
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