3.1 求最大公因数和最小公倍数 27

3.2 求多项式的最大公因式和最小公倍式 28

3.3 多元函数的极值的判断 29

4 将应用推广到实际生活中 33

4.1 化工产品配制问题 33

4.2 工资互付问题 35

5 致谢 38

6 参考文献 39 

1 矩阵及其初等变换的基本概念

矩阵的初等变换是矩阵理论里非常基础的内容，看似简单，但却非常高效实用。这篇文章将介绍初等变换在几个方面的若干应用，发掘出看似平凡的初等变换的不平凡之处。

1.1 矩阵的基本概念

先介绍何为矩阵：简单地说，把一些元素排成若干行，每行的元素个数相同，这样就构成了一个矩阵。此处的元素可以是数字，比如：

 。

严格的定义如下：

由 个数 按一定顺序排成的 行（横的） 列（纵的）的矩形数表 

称为一个 矩阵，通常由大写字母 来表示，矩阵的元素由小写字母 来表示。 称为矩阵的第 行第 列元素。

一般地，在一个矩阵中，元素全为零的行（简称零行）全都在底部，而其非零行的首个非零元的列标跟着行标严格递增（即首个非零元的列标一定不小于行标），我们则称这样的矩阵是行阶梯形矩阵。

若一个行阶梯形矩阵的各非零行的首非零元都是1，且每个首非零元所在列的其余元素都是0，则称这矩阵为行最简形矩阵。

若一个矩阵 经过初等变换后得到矩阵 ，这个 既是行最简形，又是列最简形，那么这样的矩阵 称为矩阵 的标准形。

在日常生活中，我们可以这样应用矩阵：

例1 已知某公司有四家连锁超市，它们的第一季度的销售业绩如下表所示：

表格 1销售业绩数据

        业绩

月份 甲 乙 丙 丁

1 12 10 9 15

2 20 15 11 16

3 18 14 8 13

把表格中每个销售业绩的数据取出来，保持原来的位置顺序，就可以得到一个矩阵：

 ，

其中每一个元素都有其确切的含义。如第一行第三列的数据9，表示第三个连锁超市丙在第1月份的销售业绩是9万元；第二行的数据表示在2月里各个连锁超市的销售业绩；第三列的数据表示第三个连锁超市丙在第一个季度各个月份里的销售业绩。

1.2 初等变换的基本概念

对矩阵有了基本的理解后，接下来介绍它的初等变换：初等行变换和初等列变换。