下面这三种矩阵的变换就是其初等行变换：

1）以一个非零数乘矩阵的某一行；

2）把矩阵的某一行的 倍加到另一行， 为任意常数；

3）互换矩阵中两行的位置。

类似的，我们可以定义初等列变换，即

1）以一个非零数乘矩阵的某一列；

2）把矩阵的某一列的 倍加到另一列， 为任意常数；

3）互换矩阵中两列的位置。

我们约定矩阵的初等变换用以下形式表示：

1） 代表行， 代表列；

2）非零常数 乘矩阵的第 行（列）： （ ）；

3）把矩阵的第 行（列）的 倍加到第 行（列）： （ ）；

4）互换矩阵的第 行（列）和第 行（列）： （ ）。

矩阵的初等变换有个重要的性质：任何一个非零矩阵经过初等行变换总能变成阶梯形矩阵。

证明：不失一般性，假设非零矩阵 每行的首个非零元中列标最小的是 （若这样的元素不在第一行，就通过行的对换使之处于第一行），把 的第一行元素的 倍加到第 行（ ）的对应元素上去，得到：

 。

若由第二行到最后一行组成的子块 ，则 就是阶梯形矩阵了；若 ，则对 作类似的初等行变换。如果需要的话就重复这个步骤，最终会将 化成阶梯形矩阵。

有了这个性质之后，我们就可以通过初等变换对任意非零矩阵进行化简，找到与原矩阵等价的阶梯形矩阵（甚至进一步化简到行最简形矩阵或标准形矩阵），简化矩阵的一些相关运算。

1.3 初等变换与初等矩阵

初等矩阵是对单位矩阵进行一次初等变换后获得的矩阵。因此初等矩阵有下列三种形式：

1）互换单位矩阵的第 行（列）与第 行（列）。这样得到的矩阵我们记为 ，即： 。

2）把非零常数 乘单位矩阵的第 行（列）。这样得到的矩阵我们记为 ，即： 。

3）把单位矩阵的第 行（列）的 倍加到第 行（列）上去。这样得到的矩阵我们记为 ，即： 。

对一个矩阵进行初等行变换，相当于用相应的初等矩阵左乘该矩阵；进行初等列变换，相当于用相应的初等矩阵右乘该矩阵。接下来我们对初等变换的情况做一下简单的证明，初等列变换的情况可类似证出。

证明：把矩阵 按行进行分块：

 ，其中 。由矩阵的分块乘法，有： ，

这相当于将 的第 行和第 列互换；

 ，这相当于将 的第 行乘以数 ； ，

这相当于将 的第 行加上 倍的第 行。

2 矩阵的初等变换在线性代数中的应用

2.1 求矩阵的秩

我们已知矩阵的初等变换可以把任意一个非零矩阵化成标准形矩阵，同时我们注意到有很多不同的矩阵能化到相同的标准形。此外，一个矩阵可以通过初等行变换化成不同的阶梯形矩阵，其中非零行的个数却都是相同的。为此我们需要引入矩阵的秩的概念。

定义矩阵的秩为：设 为 矩阵， 是与 等价的行阶梯形矩阵。若矩阵 的非零行有 个，我们则称矩阵 的秩是 ，矩阵 的秩也是 ，记做 。

同时矩阵的秩与矩阵的初等变换有这样的关系：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。

证明：先证明若 经过一次初等行变换变成 ，则 。

设 ，且 的某一个 阶子式 。

当 或 时，在 中一定能找到与 所对应的 阶子式 。因为 或 或 ，所以 ，从而 。

当 时，因为做变换 时结论已成立，所以只要考虑 这一特殊情况。需要分两种情况讨论：（1） 的 阶非零子式 不包括 的第一行，此时 也是 的 阶非零子式，所以 ；（2） 包括 的第一行，此时把 中与 对应的 阶子式 记做