摘要基于集合的Lebesgue测度理论，讨论了可测函数列的三种常见收敛性的等价测度描述问题. 并从集合角度讨论了可测函数列的几乎处处收敛性、近一致收敛性以及依测度收敛性三者之间的关系.同时，结合实例说明收敛性之间的关系是与条件息息相关的.43941

Abstract

Based on the Lebesgue measurement theory, this paper refers to the question about equivalent measurement description of three kinds of measurable functions’ convergences. Besides, the relationships among those three convergences --- almost everywhere convergence, almost uniform convergence and convergence in measure --- are discussed from the perspective of set. Moreover, case study shows that the relationships of the three kinds of convergences are significantly related with conditions.

毕业论文关键词：可测函数；几乎处处收敛；近一致收敛；依测度收敛收敛；测度论；关系 

Keyword: measurable function;  almost everywhere convergence;  almost uniform convergence;  convergence in measure;  measure theory; relation; 

目    录

1. 前言 5

2. 预备知识 5

3. 可测函数列各种收敛性的等价测度描述 6

3.1 几乎处处收敛的等价测度描述 6

3.2 近一致收敛的等价测度描述 6

3.3 依测度收敛的等价测度描述 6

4. 可测函数列各种收敛性之间的相互关系 7

4.1 近一致收敛与几乎处处收敛性 7

4.1.1 近一致收敛一定几乎处处收敛 7

4.1.2 几乎处处收敛不一定近一致收敛 8

4.2 近一致收敛与依测度收敛 8

4.2.1 近一致收敛一定依测度收敛 8

4.2.2 依测度收敛不一定近一致收敛 9

4.3 几乎处处收敛性与依测度收敛 10

4.3.1 几乎处处收敛不一定依测度收敛 10

4.3.2 依测度收敛不一定几乎处处收敛 11

4.4 三种收敛性之间的关系总结 13

参考文献 14

5. 致谢 14

1. 前言

在测度论中，可测函数是要研究的一类很重要的函数. 它不仅包含我们所熟悉的连续函数，还包括很多不连续的但依旧很常用的函数，比如狄利克雷函数. 这方面的拓宽使得可测函数更具有广泛性.

可测函数列的极限是Lebesgue积分中的重要内容之一，函数列的收敛性问题是函数性质的重要组成部分，明确各种收敛性之间的相互关系，可以更加深刻地理解函数的特性. （见文献[1-20]）. 在可测函数列的各种收敛性问题中，使用最为广泛的就是可测函数列的几乎处处收敛性、近一致收敛性和依测度收敛性这三种. 本文的目的，就是在测度空间（X，F， ）中讨论可测函数列的这三种收敛性问题，主要讨论这三种收敛性的等价测度描述问题，然后结合实际例子来讨论三者之间的相互关系.

2. 预备知识

定义1[1]：  设E是X上的集合系且 . 若E上的集函数 具有以下三个性质：

① 非负；② 可列可加性；③  ，则称 为E上的测度.

    定义2[1]：  若在集合E中，对于任意 ， ，总有 ，则称集合E为可测集.