当然,只能对收敛级数讨论余式,对于发散级数来说,因为它没有和,所以根本谈不上余式.

例1 函数列  

  在区间 上收敛;

  在每一个有穷的区间  上一致收敛; 

  在区间 上一致收敛.

试说明各是什么意思?

解 (1)对于任意 及任意的 <  都存在一个正整数    ,使得当 时恒有

 ,

则称函数列 在区间 上收敛,这里 不仅仅与 有关,而且与值 也有关.

      (2)对于每一个  ,如果对于任给的 ,存在一个

 ,使当 时,对于 内的一切 值,均有

 ,

则称 在每一个  上一致收敛.

(3)如果对于任给的 ,都有正整数 存在,这里 仅与 有关,使当 时,对所有的      ,均有

 ,则称 在 上一致收敛.

例2 讨论级数 在 上是否一致收敛.

解 当0  时,   ;

当 时, .

所以,级数当0 时收敛,其和是   .

现证在区间 上级数是一致收敛的,如果一致收敛,则对于任意 必

可找到正整数 (它只依赖于 而与 无关),使得当 时,有 

不是一般性,设 ,则由不等式 ,两边取对数 ,再两边除以负数 ,得  .

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