可知，一致连续性是函数在某个区间上的一种整体性质的表现，它要求对于  ，存在与位置无关的一个一致连续函数的 ，因此对于在一般的区间上来说，一致连续性是比连续性更强的一种性质。连续函数的可积性就是一致连续性的成功应用的一个典型例子。

例1    和  在  内不一致连续。

解  事实上，对  ，  ,   > 0,都存在  =  +  ,  =  ，满足 ，却使   =1+   > 成立。根据定义可知，  在(-∞, +∞) 内不一致连续。对于  ，则∃ ,  ,∃  ,   ，显然有

     （ - ）= （  -  ）=  =0

显然满足  -  | <  ，但 = =1= 。

    依定义， ，  （- ，+ ）不一致连续。证毕。

3   一致连续的判定方法

3.1 有限区间上的一致连续函数的判定

    定理1[2]　函数 在 上一致连续的充要条件是函数 在 上连续。

        定理2　函数 在 上一致连续的充要条件是函数 在 上连续并且 f(x),  f(x)都存在。

    证明　必要性　因为函数 在区间 上一致连续, 即对任意ε>0 ,存在δ>0 , 对任意  ∈ (a , b)， , 有 .显然函数 在( 上连续.并且对任意  , 存在 , 对任意 当 时，则 , 有 .根据柯西收敛准则可知,  存在。同理可证，  存在。

充分性  因  ，  都存在，分别设 和 ，构造函数

     显然 在 上连续, 由定理1 可知 在 上一致连续,从而 在 上一致连续.

    推论1 　函数 在 上一致连续的充要条件是函数 在 上连续且  ，  都存在。

推论2 　若函数 在有限区间 上连续, 单调并且有界, 则函数 在 上一致连续。

3.2 无限区间上的一致连续函数的判定

定理3[3]　若函数 在 上连续且  ，  ，（  ，  ）都存在，则函数 在 上一致连续。

推论3 　若函数f(x)在 上连续, 且  （  ）存在, 则函数 在 上一致连续。

推论4[4] 　若函数 在 上连续且  ，  都存在，则函数 在 上一致连续。

反之不成立, 例如 =  在 上一致连续,但  ，  都不存在。

推论5[5] 　若函数 在区间 上满足定义, 则曲线: = 存在垂直渐近线, 因此 在区间 上不一致连续。

定理4　若函数 在区间 上有定义, 对 ,  ,  都存在且有界, 且有有限个角点, 则 在区间 上一致连续。

证明　假设  = , 因 在区间 上存在任意一点的左右导数, 故 在区间 上连续, 只有有限个交点, 分别设为 ,   ,   , ,

记 ,  = ,  在 上连续, 必一致连续。

而 在 上可导, 且 有界,  , ,  ,  ,  , 不妨设 < ,  在 上可导, 由拉格朗日中值定理知  , ，从而 , ,   ,  < ,  < 。则 在 上一致连续。

    同理 在 上一致连续.根据一致连续的性质可知 在 上一致连续。该定理的条件变弱也可能成立, 例如 ,  上任意一点的左右导数都存在且有界,虽有无限个角点 , , 也有 在 上一致连续。

    推论6  若函数 在区间 上光滑, 并且 在区间上有界, 则 在区间 上一致连续。

    反之推论不成立, 例如 =   在 上一致连续, 但 在(0 , + ∞)上的导数却是无界的。

定理5  若函数 在 上连续, 存在常数 ，且 [ -]= （ [ - ]= ），则函数 在 上一致连续。