等价关系在大学数学中的应用(2)
因此, 前人的研究都是比较侧重于等价关系的定义, 虽有谈及等价关系在某门功课中的运用, 而很少谈及在大学数学各门功课的综合应用, 本文仍从集合和代数两个角度的定义等价关系, 并用等价类描述关于等价关系的概念, 着重描述等价关系在大学数学课程中的应用, 一方面有助于进步理解等价关系概念, 并有利于教师理解把握等价关系教学. 另一方面有助于通过等价关系理解大学数学各门课程之间的联系, 理解等价关系的桥梁作用.
1.等价关系的基础知识
1.1等价关系的基本概念
首先, 我们来了解等价关系在集合和代数中的定义
定义 1.1[1]（集合角度定义） 设 为非空集合 上的二元关系．如果 满足自反的、对称的和传递的, 则称 为 上的等价关系．
(1)自反性 : , 均有 ;
(2)对称性: , 均有 ;
(3)传递性 : , 均有 .
等价关系是指非空集合中二元自反性, 对称性及传递性的一种二元关系
定义1.2[2]（代数角度定义）设 是一个非空的集合, 是 中的二元关系, 并满足以下的条件:
1. , 均有 ；
2. , 若有 , 则有 ；
3. , 若有 及 则有 ．
则 就被叫 的等价关系．
再来看看该定义的另一形式
定义1.3[1]设 是非空集合, 是 中的某个二元关系, 满足以下三个条件:
1． , 均有 ；
2． , 若有 及 , 则定有 .
就叫集合 的一个等价关系．
再来看定义1.1和1.2是等价的．
说明:（i）由定义1.1的自反性证明定义1.2中的第二条是显然的．
（ii）由 的对称律知 , 因此有
, 又 ,
所以有 ． 证毕.
数学学习过程中, 等价关系的例子有很多, 例如, 容易验证： 为等价关系, 我们称之为平凡的等价关系．
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