化二次型为标准形的方法及其应用(2)
1.1配方法
任一二次型都可以表示为：
用配方法把一般二次型化为标准形的关键是把二次型中所有的交叉项消去，一般可分以下两种情形：
情形一 中至少有一个不为零，例如 这时把二次型中含 的所有交叉项都集中起来，然后与 配方，并作非退化的线性替换为：
得 ，其中 是 的二次型.对于 重复使用上述方法直到化二次型 为标准形为止.
例1 用配方法将 化为标准形，并求出所用的交换矩阵.
解：所用变换矩阵为 .
情形二 如果二次型 不含平方项，即 ，但含某一个 则可作非退化线性替换：
,
把 化为一个含平方项 的二次型，再用情形一中所使用的方法将其化为标准形.
例2 化二次型 为标准形.
解：作非退化线性替换
则 是一个单纯的平方和，而将这几次所作的线性替换结合起来，再联系结果，不难得出所作的线性替换就相当于作了一个总结的线性替换即：
1.2合同变换法（初等变换法）
定义 1 设A为一 矩阵.若对A施行一次初等行变换 ，相应的对A施行一次相同的初等列变换 ，则称对A施行了一次合同变换.
定理 1 设二次型 ，则 =
一定可以经过合同变换化为标准形.
定理 2 二次型 ，做合同变换 化标准形 其中B是对角阵，则对单位阵做与A相同的列变换所得的矩阵即为所求非退化线性变换的矩阵C.
由以上所述可给合同变换法作如下定义：对矩阵 作初等变换，先对A作先列后行的“同步”初等变换，讲A化为对角局阵 ,而对A下方的E只作与A同等的列变换，将E变为T，则T即为可逆初等变换的系数矩阵而A变成的对角阵 即为新二次型（标准形）所对应的矩阵.
例 3 用合同变换法将 化为标准形.
解： 令 则 , 对应矩阵 验算得 .
1.3 正交变换法
定理 3 对任意一个n元二次型 一定能找到一个正交线性变换X=TY化为标准形： ，其中 是实对称矩阵的A的全部特征值，正交矩阵T的n个列向量恰为A的属于特征值 的标准正交特征向量.
根据该定理可得出用正交变换法化二次型为标准形的步骤如下：
根据二次型写出其对应的矩阵A.
(1) 的重数为 .
(2)解方程组 这里 是列向量.
(3)对 ，进行施密特正交化过程，得到 个属于 的相互正交的特征向量 .
(4)将 .
(5)令 ，则P为所求正交矩阵，且
即为所求的标准形.
例 4 用正交变换法把一般二次型 化为标准形，并求该变换出所对应的正交矩阵.
解: 该二次型对应的矩阵为
则 .故A的特征值 .
求齐次方程组 得相应的特征向量为
对其施行施密特正交化过程.
， ，而不同特征值所对应的特征向量是正交的，所以
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