3  矩体乘法算法 17

3．1  矩体乘法算法一——递归法 17

3．2  矩体乘法算法二——矩阵乘法的衍化 18

4  特殊矩体 25

4．1  单位矩体 25

4．2  正交矩体 26

4．3  逆矩体 29

5  矩体应用 31

5．1  矩体的SVD 31

5．2  矩体SVD算法在视频图像处理中的应用 31

结论 36

致谢 38

参考文献 39

1  绪论

1．1  矩体课题概述[1]

1.1.1  课题缘起

    对于一幅灰度数字图像，可以用一个 的二维数组（array）对应表示。而对于一幅RGB彩色数字图像，可以用一个 的三维数组对应表示，其中第三维固定为3，即，每个彩色象素的三个颜色值保存在数组的第三维中。类似地，对于一个多帧RGB数字图像组成的图像序列，则可以用一个 的四维数组对应表示；图像帧的序号 ，在图像的长、宽、颜色深度之后，构成数组的第四维。

自然地，一个多维的离散信号，可以用一个 的多维数组对应表示。

数组的运算，符合四则运算（算术运算）规则，一般为同维数组对应元素间的四则运算。

矩阵（matrix），是一个二维的数组。矩阵之间进行普通的加减乘除四则运算，仍遵从一般的数组四则运算规则。但是，矩阵之所以称为“矩阵”而非“二维数组”，是因为矩阵的运算符合线性代数运算的规则，是矩阵整体间的运算。

准此，则可提出疑问，如何给“多维数组”赋予（除“四则运算”外的）“线性代数运算规则”？

笔者的导师曾在研究电视图像加扰时意识到，数字视频处理基本上是基于平面图像上的处理，而完整的彩色数字视频信号，则是由时间离散的彩色数字图像排列而成的四维数组。基于平面图像的数字视频处理，未能充分利用空间维之外的时间维信息。这种局限于平面图像的处理技术，不独数字视频处理为然，生物医学数字图像序列的处理，亦复如是。对这一问题的思考自然上升到更高层面：既然灰度数字图像的象素可推为矩阵元素的关系，那么由有序的数字图像排列而成的序贯图像，应该可以表示为一系列矩阵排列而成的“矩阵体”（简称“矩体”）。

笔者的导师考查代数、信号处理、图像处理等学科的文献后，未见这种能够充分满足视频分割、压缩、滤波、特征提取、模式识别等要求的理论记载，遂借题发挥，将上述思考抽绎成“如何用矩体表示多维（三维及以上）离散信号，如何对矩体进行代数运算”的问题。

1.1.2  课题的研究目标与意义

    课题的研究目标，是将二维的“矩阵”推广到多维，建立多维（三维及以上）离散信号的“矩体表示及运算”理论，为“多维离散信号”的表示及处理提供新的理论基础和方法技术，以期取得较之现有方法更好的分析、处理和识别结果，并为力学提供新的分析、计算工具。

本课题是在实际应用中提出的基础性问题，其研究意义在于：