1.3  本文的主要工作和结构安排

     在本文的安排上，将在第2章介绍压缩感知理论的基本原理和主要思想内容，并通过仿真展现了压缩感知在图像处理方面的应用。然后在第3章介绍SAR成像的基本原理，并通过仿真实现基于Chirp Scaling算法的雷达成像。接下来在第4章对将压缩感知应用到SAR成像中并仿真实现。

2   压缩感知的基本原理

2.1  压缩感知理论基本知识框架

    CS 理论指出，若信号是稀疏的或者是可压缩的，则可以用一个与变换矩阵不相关的采样矩阵将高维信号投影到低维空间上, 然后通过求解一个稀疏约束的优化问题就可以从这些少量的投影数据中以较高的概率恢复出原信号。可以证明这样的投影数据包含了恢复原信号所需要的足够信息。在该理论框架下, 采样率不决定于信号的带宽, 而决定于信号的结构和内容。

    基于 CS 理论的信号处理方法在对信号进行采集的同时实现对信号的压缩。CS理论所处理的信号为稀疏信号或者是可压缩信号。CS 理论所进行的采样为非相关采样，而不是传统意义下的均匀采样。压缩采样得到的非相关测量数据并非信号本身，而是信号或者是信号的某种变换系数从高维数据空间到低维数据空间的投影。压缩采样得到的每一个样本数据都包含了传统采样方式下的所有样本信号的少量信息，从而可以用远低于 Nyquist 率采样得到的数据精确地重建出原信号。CS理论中信号的恢复并不是简单的对接收端得到的数据进行某种逆变换，而是需要利用信号稀疏的先验条件，求解一个稀疏约束的非线性最优化问题。

 压缩感知理论的核心共有三部分，信号的稀疏性，测量矩阵，重构算法。

 信号的可压缩性或稀疏性作为压缩感知的重要前提和理论基础，是压缩感知理论首要的研究任务。稀疏字典设计是压缩感知的核心问题之一，只有选择符合要求的稀疏字典，才能保证信号的表示系数具有足够的衰减性或稀疏性，既能保证信号的精度又能减小采样的数量。稀疏字典主要包括紧框架字典、正交基字典、过完备字典【10】。正交基字典主要用于正交变换系统的调和分析；紧框架字典主要是以Ridgelet、Bandlet、Curvelet、Contourlet为代表，用于图像几何多分辨率表示，也可以称之称Beyond Wavelet变换；过完备字典是经过构造和学习得到的冗余原子库，不再是单一基。通过提高变换系统的冗余性来增强信号接近灵活性，提高信号的稀疏表示能力尤其是在图像和复杂的信号中【19】。

    测量矩阵设计是压缩采样理论的核心，是压缩采样理论是否能够成功实现的关键。由于压缩测量个数和信号稀疏性以及信号重建精度有着密切的联系，因此测量矩阵的设计应该与稀疏字典的设计统一。从原理的角度看，测量矩阵的设计的基本准则要符合等距约束性或非相干性，既要确保压缩感知的信号重建精度又要减少压缩测量个数。测量矩阵的设计包括两个方面：一是测量矩阵的元素，Candes等人给出了随机生成的设计策略；二是测量矩阵的维数，信号稀疏性与信号长度和压缩测量个数之间应该满足一定的关系【13】。文献综述

而重建算法的设计应该遵循如下基本准则：算法应该利用尽量少的压缩测量，并且快速、稳定、精确或近似精确地重建原始信号。首先Candes等人从理论方面证明了可以通过求解最小Lo范数解决信号重构问题，后来Donoho指出，求解最小Lo范数本身是一个NP-hard问题，没有办法直接求解。于是很多研究人员把注意力放在求解次优解上面，并提出了一系列相应的算法【10】。