2．1  正交变换原理

2.1.1  数字信号的解析表示

我们在现实生活中遇到的信号都是实信号，所谓实信号就是在时间上连续的信号，比如说语音信号、图像信号和音乐信号等，这些都称作实信号。实信号有其频谱特点，即共轭对称，它的幅度频谱中正负频率分量是对称的，而它的相位频谱中相位分量是相反的。如果我们将信号以实信号的形式处理，会产生很多“交叉项”，使处理过程很复杂，此外，现实生活中是没有负频率的，那么对负频率的处理就失去了其只有现实意义，也就是说，仅处理实信号的正频谱部分即可。

上述的问题用解析信号表示法可以得到解决，因为解析信号的频谱恰好是实信号频谱的正频率频谱。将一个实信号转化为复解析信号需要经过正交换实行，一般来说采用的是希尔伯特变换。

设原始信号为连续时间信号x(t)，则经过希尔伯特变换后，有

                                              （2-1）

因为

                                                      （2-2）

所以希尔伯特变换是正交变换，因此H[x(t)]与x(t)是正交关系。设x(t)的解析表示为s(t)，则s(t)的表达式为

                                                    (2-3)

下面来验证x(t)与s(t)频谱的关系，设x(t)经傅里叶变换后的频谱为X（jω），则

                                                  (2-4)

又因为实信号频谱的共轭对称性，所以X（jω）具有如下性质，即

                                                     (2-5)

再对复信号s(t)进行傅里叶变换，即

                                   （2-6）

将式（2-4）和（2-5）比较可知，复解析形式的频谱是实信号频谱的正频率部分，只是幅度是实信号频谱幅度的两倍。由此可以得出结论，将实信号化成解析形式进行处理是完全可以的。

再讨论实窄带信号。所谓窄带信号，全称为高频窄带信号，信号的频谱限制在载波频率 附近的频带范围 内，并且满足 远小于 。根据定义，设任意一个实窄带信号为

源:自~优尔·论`文'网·www.youerw.com/   （2-7）

式中， 为信号的幅度调制分量， 为相位调制分量， 是信号的载频。z(t)的希尔伯特变换为

                             （2-8）

则z(t)的解析表示为

                              (2-9)

为了方便运算，s(t)还可以表示为指数形式，即

                                    （2-10）

式中的 、 和 都是常数， 也称为信号的复包络。而 一项不含有任何信息，只是信号的载频分量。在进行下变频变换时，将式（2-9）乘以 就能得到所需的基带信号，设为 ，有