(2.1)

（2.1）式就是离散傅里叶变换的表达式，N是区间长度。

2.2  DFT的隐含周期性[3]

上面的x(n)与X(k)都是有限长序列，但是因为  具有周期性，因此X(k)也是周期性的，周期为N。任取整数m，始终满足：

         k,m为整数，N为自然数                     (2.2)

所以(2.2)式中，X(k)满足：              (2.3)

其实，任意一个以N为周期的周期序列 均可当作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，并且x(n)就是 的其中一个周期，即：

                             (2.4)

                                (2.5)

为了下面可以简单的表达，把(2.4)式表示成：

                                   (2.6)

(2.6)中的x((n))N就是x(n)的周期是N的周期延拓序列，((n))N即n对N求余， 也就是如果：

              ， M为整数                       (2.7)

则                     ((n))N=n1

假如x(n)是长度为N的序列，并且 ，那么 的离散傅里叶级数可以表示成：

                   (2.8)

式中

                                            (2.9)

2.3  DFT的性质[4]

2.3.1  线性性质

设有限长序列x1(n)的长度为N1，有限长序列x2(n)的长度为N2，且 ：

                                        (2.10)

其中a、b是任意常数， 即 ，那么 的N点DFT为:

                         (2.11)

其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。论文网

2.3.2  序列的圆周移位

设x(n)序列是有限长的，并且长度等于N，那么x(n)的圆周移位可以定义为：

                                          (2.12)

由(2.12)式可以知道，对x(n)作周期为N的周期延拓可以得到 ，然后把 向左移m得到 ，那么就可以把 的主值序列作为有限长序列x(n)的圆周移位序列y(n),显然，y(n)是长度为N的有限长序列。观察图a能够发现，圆周移位的本质其实就是序列值从主值区的左边移出然后从右边再一次进入。所以叫圆周移位。

 根据圆周移位的定义，可以知道，同一个序列x(n)，位移m相同，如果延拓周期N不一样， 也不一样。

图2.1圆周移位的示意图

2.3.3 时域圆周移位定理

设有限长序列x(n)的长度是M（M≤N），x(n)的圆周移位是y(n)，那么： 

                (2.13)

则

           (2.14)

2.3.4 频域圆周移位定理文献综述

设X(k)为频域有限长的序列，根据频域、时域的对偶关系可知： 

           (2.15)

则

                                     (2.16)