致 谢 35

参 考 文 献 36

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1 引言

1。1 研究背景及其意义

小波变换分析理论在近年来逐渐成为了世界上十分活跃的是研究领域，逐步的被人们应 用于图像处理、分形几何、数据压缩等各方面领域。[2]本文主要是将运用小波变换分析理论 对海平面波浪图像进行处理分析。该课题研究需要有二维小波函数和尺度函数，在本文中我 使用的方法是可分离变量法，是先把一维小波函数和尺度函数相结合，然后在构造出我们所 需要的二维小波变换。把海平面波浪的文理图像看成二维信号，然后再对海平面波浪图像进 行纹理图像处理，使用的方法就是小波变换。

小波变换（wavelet transform，WT）是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅 立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率 改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过变换 能够充分突出问题某些方面的特征，能对时间（空间）频率的局部化分析，通过伸缩平移运 算对信号（函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动 适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了 Fourier 变换的困难问题， 成为继 Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。[2]

小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier 分析、调和分析、数值分析的最 完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领 域，它被认为是继 Fourier 分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换与 Fourier 变换相 比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算 功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了 Fourier 变换不能解决 的许多困难问题。[2]

与 Fourier 变换、视窗 Fourier 变换（Gabor 变换）相比，具有良好的时频局部化特性，能 有效的从信号中提取资讯，因而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程 碑式的进展。[2]

1。2 小波变换的研究历史和现状

小波变换是由法国从事石油信号处理的工程师 J。Morlet 在 1974 年首先提出的，通过物理 的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如 1807 年法国的热学工程师 J。B。J。Fourier 提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念 未能得到认可一样。幸运的是，早在七十年代，A。Calderon 表示定理的发现、Hardy 空间的原

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子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且 J。O。Stromberg 还构 造了历史上非常类似于现在的小波基；1986 年著名数学家 Y。Meyer 偶然构造出一个真正的小 波基，并与 S。Mallat 合作建立了构造小波基的统一方法--多尺度分析之后，小波分析才开始 蓬勃发展起来，其中比利时女数学家 I。Daubechies 撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。与 Fourier 变换、视窗 Fourier 变换（Gabor 变换）相比，具有良好的时频局部化特性，能有效的从信号中提取资讯，因而小波变化被誉 为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。[3]