假设N个彼此相同的玻色子组成的理想气体存在于V体积为的密闭的容器中，处于热平衡状态下的理想玻色气体符合玻色一爱因斯坦统计，若以示热平衡状态时处于1能态的某一量子态平均粒子数，则n(n)可以表示为其中为粒子的化学势,k为玻耳兹曼常量．则系统的总粒子数为我们用N0表示处于最低能级（00）粒子数，用Nt表示处于较高能级中的粒子数，则总粒子数为利用式2，我们以积分代求和并考虑函数的单调性可知，在某一特定的温度下，Nt有一个上限Nmax，则有其中，S表示粒子的空间运动状态下的对应不同自旋态，m为玻色子质量，是普朗克常量。我们用Tc来表示特定温度（即临界温度），当TTc的时候，NmaxN，进入到最低能级0中的粒子有（NNmax）个，然后，可以推理得到直到1995年，物理学家才在实验室中观察到了BEC的形成，七月份Cornell和他的同事Wieman带领一批学生和博士后先用激光将铷蒸汽冷却，接着通过强力蒸发将束缚在磁陷阱中的铷蒸汽进一步冷却，达到牺牲磁陷阱中的原子，去除能量超过平均值的原子的目的，使留下来的原子达到更低的温度。当温度下降至170nK，凝聚现象发生了。[3]由于他们采用的新的构架，实验才取得了成功，他们采用了一种新型的磁陷阱，（由一个大的球四极矩场和一个小的、以75kHz旋转的均匀横向场的叠加)，这样一来就可以起到抵消样品中粒子数损失的作用，从而提供紧的稳定的约束。同年十月，麻省理工学院的凯特勒等人也成功的在Na实验中实现了BEC。随后Hulet等人也在Li原子气体中找到了波色—爱因斯坦凝聚的证据。

1.2 Gross-Pitaevskii方程

Gross-Pitaevskii方程是Bose-Einstein凝结物的阶参数或波函数的非线性模型方程。它在形式上与Ginzburg-Landau方程相近，通常也被称为非线性薛定谔方程。

Bose-Einstein凝析物（BEC）是玻色子的气体，它们处于相同的量子态，因而可以用相同的波函数来描表述。自由量子粒子由单粒子薛定谔方程描述。通过相关的多体Schrödinger方程考虑真实气体中的颗粒之间的相互作用。如果气体中的颗粒彼此之间的平均间距大于散射长度（即所谓的稀释极限），则可以通过赝势近似该等式中的特征的真实相互作用电位。Gross-Pitaevskii方程的非线性由粒子之间的相互作用而来。我们把将Gross-Pitaevskii方程中的相互作用的耦合常数变为零时（参见下面的部分）[4]，变得更加明显，其中描述了俘获电位内部的粒子的单粒子薛定谔方程。

该方程式具有薛定方程的形式，并添加了相互作用项。耦合常数g与两个相互作用的玻色子的散射长度成比例:

其中ℏ是普朗克的常数，m是玻色子的质量。能量密度是其中Ψ是波函数或阶数参数，V是外部电位。对于保守的粒子数，与时间无关的Gross-Pitaevskii方程是

其中μ是化学势。从颗粒数与波函数有关的条件可以发现化学势从时间无关的Gross-Pitaevskii方程中，我们可以找到各种外部电位（例如谐波陷阱）中的Bose-Einstein凝聚物的结构。

时间依赖的Gross-Pitaevskii方程是从时间依赖的Gross-Pitaevskii方程，我们可以看看Bose-Einstein凝聚物的动力学。它用于找到被困气体的集体模式。

1.3Feynman变分法

最近，Feynman开发了一种强大的极化子问题的方法，即他将变分方法引入路径积分公式。他的结果涵盖了所有耦合常数的值（比较详细的用更常用的方法由Hohler提供）。“尽管方法可以具有更广泛的适用性，但是基于路径积分的选择，因此功能限于二次方形式;所以需要找出传统表达方法来表示他的方法，来得到更广泛的[5]适用功能”，费曼自己在他的论文中提到。即使我们把注意力集中在解决极化子问题，它并不能提供任何知识关于波功能的方法，所以很难估算其他物理量。