WENO算法高精度计算格式在可压缩流中的应用(3)
1.3 WENO格式
计算数学家们通过降低总变差减少的条件，提出了总变差有界(Total Variation Bounded)，进而发展出本质无振荡（essentially non-oscillatory,ENO）格式，ENO格式具有总变差有界性质，且可以达到高精度和高分辨率。ENO格式在构造模板过程中，通过自适应的选择扩展节点模板，来达到高阶的精度，并且保证了在间断附近具有本质无振荡的性质[ ]。对于固定模板，如果模板内某点在间断附近，即模板中包含着间断单元，则数值计算结果就会出现振荡。为了避免这种现象发生，我们利用可调节模板来取代固定模板，尽量避免在所选择的模板中包含间断单元，这样就可以有效地抑制非物理振荡的出现。在多个备选模板中选择一个最光滑的模板覆盖计算区域中的指定区域进行插值计算。必要的话，模板在间断附近进行单侧插值。这使得在激波处可以保持同样的高精度进行无振荡过渡，这就是ENO格式。然而ENO格式也有某些缺点，一个是在解和它的导数的零值附近，即使是一个舍入误差扰动都有可能会改变最光滑区域的位置；另一个是ENO格式不便于进行并行计算，因为在选择插值区域的步骤中会大量使用到逻辑语句。并且ENO格式在重构时，在多个备选模板中仅选择了一个最光滑的模板而放弃了其他模板，这样把其他模板上的有价值的信息都丢失了，很多计算工作量都没有得到使用。因此在ENO格式的基础上，计算数学家又提出了加权本质无振荡（Weighted ENO,WENO)格式[ ]。WENO格式将所有模板信息都利用起来，把各个备选模板以凸组合的方式进行重构，构造WENO格式模板的非线性权重利用局部光滑度进行精确计算[6]。因此，在具有同样的备选模板情况下，在间断附近WENO保持本质无振荡的性质，而在光滑区域，WENO格式可以具有比ENO更高的精度。
20世纪90年代以来，WENO格式成为国内外学者研究的热点，并得到了迅速的发展[ ]。WENO格式所具有的高精度、高分辨率的良好性质使其特别适合进行间断问题的数值计算。WENO格式在计算流体力学尤其是气动力学中得到了广泛应用，比如航空声学问题、激波湍流问题等[ ][ ]，WENO格式都有着良好的表现。
1.4 本文的研究内容
在本文中将利用高精度WENO格式针对不同典型可压缩流动现象，开展粘性效应和不同网格精度下流动过程的数值模拟，考察上述两个因素对计算结果的影响。根据计算结果分析高精度计算格式对粘性环境和不同网格精度的适应性，分析最佳的计算条件。
2 WENO算法
不管是什么形式的流动过程，其数值求解都是基于流体力学基本控制方程：连续方程、动量方程和能量方程。这些方程表述的是物理原理，它们是所有流体力学都必须遵循的三大基本物理定律（质量守恒、牛顿第二定律、能量守恒）的数学表示[ ]。
2.1 流体力学控制方程
将所有守恒型控制方程——连续方程、动量方程和能量方程表示成统一的形式，由下式给出[1]：
（2.1）
如果把U，F，G，H和J看成列向量的话，方程（2.1）可以代表整个系统的守恒型控制方程，其中U，F，G，H和J由下式给出：
其中 为密度，u、v、w分别为速度在x、y、z方向的分量，E为能量，p为压力， 表示作用在与i轴垂直的面上j方向的应力，K为热传导率，T为温度， 表示单位质量体积热的增长率。用f表示作用在流体元上单位质量的体积力， 表示其在i方向的分量。
方程（2.1）中的列向量F，G和H称为通量项，J代表源项（体积力和体积热被忽略时，该项为零），列向量U被称为解向量。