球坐标系的三个坐标参数(ξ,θ,φ)中,ξ代表参考点原点O到坐标点P的径向距离的坐标值;θ为天顶角,是径向ξ与正z轴的夹角;φ为方位角,是径向ξ在x-y面上的投影与正x轴的夹角,因此从球坐标变换到直角坐标的表达式为[22]:
 (5)
    反之也可以得出从直角坐标变换到球坐标的关系式。
3.2  四文时空间隔
以上的空间坐标系都是在牛顿力学的绝对时空观下的考虑,即时、空是独立并且均匀的。1905年,爱因斯坦在其著名的论文《论运动物体的电动力学》中提出了两条基本原理,并据此建立了崭新的理论——狭义相对论[23]。相对论的提出深刻地改变了我们对于时空的认识:时空不再是独立的。狭义相对论中的两条基本原理是狭义相对性原理和光速不变原理[20],即:
(1)狭义相对性原理:任何真实的物理规律在所有惯性系中应形式不变。
(2)光速不变原理:任意一个惯性系中的观测者所测得的真空中的光速恒为c 。
这两条原理是作为公理提出来的,不能被逻辑来证明,只能通过实验来验证,而迄今为止所有的实验都是支持这两条原理的,在此基础上可以建立狭义相对论。这两条原理实际上是将光速作为参考标准,据此可以得到距离,这与前面说的距离是光信号传播过程的体现本质是一样的。根据相对论,对于相互作匀速运动的观察者S和S’,他们测量两件事的时间间隔和空间间隔一般是不相同的。如果物体相对于观察者静止,观察者测出的长度l0被称为固有长度;如果物体相对于观察者以速度υ运动,观察者测出的长度l被称为坐标长度,它们之间的关系是:  ,可以看出坐标长度总是小于固有长度,因此测量运动物体的长度时总比在其静止时测量的结果要小,这也就是长度收缩效应。与此对应的还有时间膨胀效应,固有时间t0小于坐标时间t ,它们的关系为:   。而两个惯性参考系的时空坐标可以用洛伦兹变换来联系。
虽然在相对论中时间间隔和空间间隔不再是绝对的,而与物体的运动状态相关,不同参考系中它们一般是不同的,但是有一个量在不同的参考系中却始终不变,那就是四文时空间隔∆s ,它是相对论中十分重要的物理量[20]。为了引出时空间隔的概念,首先定义一个重要的概念——事件:它是指在t时刻、(x,y,z)处发生某件事,将时间和空间坐标合在一起表示为P(t,x,y,z)。对于任意两个事件P0(t0 , x0 , y0 , z0) 和P(t , x , y , z),空间尺度因子为R ,其时间间隔和空间间隔分别为:
在牛顿的绝对时空观中,这两个间隔分别是绝对的,也就是说观察者S和S’测量的时间间隔和空间间隔分别相同:
                 ,                (7)
但在相对论中,空间和时间是相互关联的,可以构造:
   (8)如果取事件P0的时空坐标为(0 , 0 , 0 , 0),则上式可变为:
         以从上式看出ds2有与三文空间中距离的平方相类似的含义,并且满足正交性,可以看做是四文线性空间中的直角坐标系,按照爱因斯坦求和约定上式还可以写成:
上式也被称为闵氏度规。
3.3  空间变尺度因子
考虑过空间坐标系的数学性质后,再来讨论一下其另一个要素:单位,这也是物理学坐标系与数学坐标系不同的地方,必须考虑单位才有完整的物理意义。在空间坐标系中,所用的单位是长度单位,比如米,厘米,千米等等。不同的长度单位就是我们用来丈量的尺度,对于微观世界我们采用纳米、微米作为度量单位;在日常生活中,我们常采用米、千米作为基本单位;而在天文学中的基本尺寸则是更大的光年、秒差距,可以看出采用不同的尺度将能够方便我们描述客观世界。一般采用的尺度,例如米尺,我们认为其刻度是均匀的,这样处理使用起来十分方便;在电磁波测距中,光速乘以单位时间也被认为是一个定值,因此可以用来度量距离。定义空间尺度因子R=cT,其中c为光速,T是光波振动周期,由于光速为常数,周期T一般认为不变化,因此尺度因子R是一个固定值,这也就是前面用到的固定尺度因子R0 。于是在空间坐标系中我们可以用一个数值ξ与尺度因子R的乘积来表示两者之间的距离。
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