光子自由程空间球坐标系模型及应用(6)
球坐标系的三个坐标参数(ξ,θ,φ)中，ξ代表参考点原点O到坐标点P的径向距离的坐标值；θ为天顶角，是径向ξ与正z轴的夹角；φ为方位角，是径向ξ在x-y面上的投影与正x轴的夹角，因此从球坐标变换到直角坐标的表达式为[22]：
(5)
反之也可以得出从直角坐标变换到球坐标的关系式。
3.2 四文时空间隔
以上的空间坐标系都是在牛顿力学的绝对时空观下的考虑，即时、空是独立并且均匀的。1905年，爱因斯坦在其著名的论文《论运动物体的电动力学》中提出了两条基本原理，并据此建立了崭新的理论——狭义相对论[23]。相对论的提出深刻地改变了我们对于时空的认识：时空不再是独立的。狭义相对论中的两条基本原理是狭义相对性原理和光速不变原理[20]，即：
（1）狭义相对性原理：任何真实的物理规律在所有惯性系中应形式不变。
（2）光速不变原理：任意一个惯性系中的观测者所测得的真空中的光速恒为c 。
这两条原理是作为公理提出来的，不能被逻辑来证明，只能通过实验来验证，而迄今为止所有的实验都是支持这两条原理的，在此基础上可以建立狭义相对论。这两条原理实际上是将光速作为参考标准，据此可以得到距离，这与前面说的距离是光信号传播过程的体现本质是一样的。根据相对论，对于相互作匀速运动的观察者S和S’，他们测量两件事的时间间隔和空间间隔一般是不相同的。如果物体相对于观察者静止，观察者测出的长度l0被称为固有长度；如果物体相对于观察者以速度υ运动，观察者测出的长度l被称为坐标长度，它们之间的关系是： ，可以看出坐标长度总是小于固有长度，因此测量运动物体的长度时总比在其静止时测量的结果要小，这也就是长度收缩效应。与此对应的还有时间膨胀效应，固有时间t0小于坐标时间t ，它们的关系为： 。而两个惯性参考系的时空坐标可以用洛伦兹变换来联系。
虽然在相对论中时间间隔和空间间隔不再是绝对的，而与物体的运动状态相关，不同参考系中它们一般是不同的，但是有一个量在不同的参考系中却始终不变，那就是四文时空间隔∆s ，它是相对论中十分重要的物理量[20]。为了引出时空间隔的概念，首先定义一个重要的概念——事件：它是指在t时刻、(x,y,z)处发生某件事，将时间和空间坐标合在一起表示为P(t,x,y,z)。对于任意两个事件P0(t0 , x0 , y0 , z0) 和P(t , x , y , z)，空间尺度因子为R ,其时间间隔和空间间隔分别为：
在牛顿的绝对时空观中，这两个间隔分别是绝对的，也就是说观察者S和S’测量的时间间隔和空间间隔分别相同：
， (7)
但在相对论中，空间和时间是相互关联的，可以构造：
(8)如果取事件P0的时空坐标为(0 , 0 , 0 , 0)，则上式可变为：
以从上式看出ds2有与三文空间中距离的平方相类似的含义，并且满足正交性，可以看做是四文线性空间中的直角坐标系，按照爱因斯坦求和约定上式还可以写成：
上式也被称为闵氏度规。
3.3 空间变尺度因子
考虑过空间坐标系的数学性质后，再来讨论一下其另一个要素：单位，这也是物理学坐标系与数学坐标系不同的地方，必须考虑单位才有完整的物理意义。在空间坐标系中，所用的单位是长度单位，比如米，厘米，千米等等。不同的长度单位就是我们用来丈量的尺度，对于微观世界我们采用纳米、微米作为度量单位；在日常生活中，我们常采用米、千米作为基本单位；而在天文学中的基本尺寸则是更大的光年、秒差距，可以看出采用不同的尺度将能够方便我们描述客观世界。一般采用的尺度，例如米尺，我们认为其刻度是均匀的，这样处理使用起来十分方便；在电磁波测距中，光速乘以单位时间也被认为是一个定值，因此可以用来度量距离。定义空间尺度因子R=cT，其中c为光速，T是光波振动周期，由于光速为常数，周期T一般认为不变化，因此尺度因子R是一个固定值，这也就是前面用到的固定尺度因子R0 。于是在空间坐标系中我们可以用一个数值ξ与尺度因子R的乘积来表示两者之间的距离。
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