(29)
把(29)代入(28)得:
可见 时,有可与n相近的粒子数在 能级凝聚,称为玻色—爱因斯坦凝聚。
以上这些步骤,都是在化学势 判定出凝聚临界温度 后,才能进行后续物理量的计算。由此可知化学势在玻色—爱因斯坦凝聚中的重要作用[7]。
4.3 化学势在费米电子气体中的应用
在微观层面,金属中的自由电子形成强简并的费米气体,由费米分布可知,温度为T时处在能级为上的一个量子态上的平均电子分布为:
                              (31)
因为电子的自旋在它的动量上的投影在横轴与纵轴处有两个可能值,在气体体积V内,在 范围内电子总量子态数是:
                        (32)
则在体积V内,在 范围内的平均电子分布为:
                           
在给定电子数 、温度 和体积 时,化学势可以通过下式确定:
                      (33)
由上面结果可知, 是温度 与电子密度 的函数。
当 时,以 表示电子气体在0 时的化学势,由式(31)可知,0 时费米气体的分布为:
图2  时电子气体分布函数图
如图(2)所示,(34)(35)两式的意义在于,在 时,在 的每一个量子态上的平均电子数为1,在 的每一个量子态上的平均电子数为0。此分布可以理解为:在0 时电子将尽可能的处于能量最低的状态,但Pauli’s Exclusion Principle则限制每一个量子态上最多只可以容纳一个电子,因此电子将从 的状态逐渐填充至 为止。
由分布可知, 是0 时电子的最大能量,可由下面步骤确定:
                      (36)
将上式积分,可得 为:
                          (37)
 也常被称为是费米能级。令 ,可得:
                             (38)
 是0 时电子的最大动量,被称为费米动量。与它相应的速率 被称为费米速率。
在 时,电子气体的内能为:
               (39)
由此可知,0 时单个电子的平均能量为 。0 时的电子气体压强为:
                          (40)
由以上式子可以了解到,费米气体与理想玻色气体在 时粒子全部处于能量、动量、压强为0的状态完全不同,它在 时具有很高的平均能量、动量,并产生很大的压强[8]。这样就可知电子在任何温度范围都不会发生凝聚现象,并且它依然是电子密度的函数,这样就可通过化学势来得到电子的非凝聚这一性质的结论,进而利用此结论可对电子气体的统计性质进行更详细、更深入的剖析。
5. 结束语
化学势贯穿热力学和统计物理两个部分,在系统状态的变化过程中,它都会随着外界参量变化而变化,它可以从某一侧面来反应出此系统的某一性质;在统计物理中,根据建立的物理模型,可以对低温或者常温下系统的某一性质进行讨论,用化学势界定出统计的范围,才能进行精确计算。
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