2 实际光学系统各几何像差的成因和计算方法

2.1 轴上点像差

轴上点像差包括两种，一种是球差，一种是位置色差。首先是球差，顾名思义，就是源于透镜的球面特性而产生的一种像差，因为是轴上点像差，所以远轴光线的球差与孔径 和光线的入射高度 有关，而近轴光线则不受影响，因而此时对于一个物距L来讲， 与 的值是不一样的。这个时候，就可以给出球差的定义了，用 表示。

我们可以简单的画一个单透镜的系统来观察一下球差的存在，如图2.1a所示，而图2.1b显示的是它的弥散斑大小。由图得知，由于共轴球面系统具有空间轴对称性，对称轴即为光轴。所以当我们不需要考虑无数种情况，只需选取子午面光线来研究。

轴上点球差

从图中可以看出，球差大小与孔径的大小有关，而孔径则是由入射高度 或孔径角 二者之一决定，所以球差可以看成是由 或 为变量的函数，可以展开成 或 的幂级数。因为球差是关于轴向对称的，所以当两个变量符号发生变化时，球差的值不会发生改变。这样的话，在展开级数时，不存在 和 的奇次项。同时，由于 或 为0值时，像差大小也显然等于0。所以球差可以表示为。

展开式中等项依次为初级球差，二级球差，三级球差。二级以上的为高级球差。需要注意的是，在展开式中的 这个变量，实质上它的存在是有约束条件的，即当物距L是一定的时候，这个时候引入 这个变量才是有意义的，因为当L在发生变化时，孔径角在发生改变，这个才是实质的变量。这时候可以联想到一个概念叫相对孔径，相对孔径的定义叫做入瞳口径/系统焦距，在这个式子中，入瞳直径看上去像一个定值，对于一个固定的系统而言的话。但是实质上它是个变量，对于轴上点来说正真影响它的并不是系统的入瞳直径D，而是物距L，因为只有L影响入瞳口径 的大小。这一点我想特别提一下，因为从教材上实在是看不出有这么一个信息在里面。我也是经过使用光学设计软件中F数的使用后发现的，在最后一个折射表面设定一个F数，当物距发生变化时，可以看到最后一个面的曲率半径在变化，以保证它的F数（相对孔径的倒数）不变。

在一个光学系统中，球差的产生自不是由一个面带来的，所以它的值是由各个折射面叠加带来的，每个面对应一个球差分布式。对于k个面构成的光学系统来讲，球差的分布式为下式

为光学系统球差系数， 为每个面上的球差分布系数，为

因初级球差在近轴内有意义，近轴内入射角度很小，故角度的正弦值近似为弧度值，角度的余弦近似为1，这样初级球差就写成

即为每个球面上的初级球差分布系数。

还有一种轴上点的像差叫做位置色差，光学材料对于不同的波长的色光有不同的折射率，因此，对于某一孔径，光线经过后会形成不同的光路，与光轴的焦点也不同。在任何像面位置，物体的像是一个弥散斑。位置色差是在沿轴方向上度量的。如图2.2。

轴上点色差

位置色差即为两边缘波长光线成像位置的轴向差距。对于目视光学系统，就是用 表示，即系统对F光和C光消色差。      (7)

对近轴区表示为   (8)

所以我们知道，在近轴区域就已经产生位置色差。一般对0.707带校正色差。位置色差的大小仅与孔径相关，所以它的级数展开式中有孔径的偶次方，因为近轴光路也会产生位置色差，展开式中的常数项不为0，展开式为

                         (9)