用傅里叶变换计算衍射的光强分布(2)
1. 傅里叶变换
1.1 一文傅里叶变换式
设 为一文周期函数，则其可以展开为下述形式：
(1)
其中k为空间频率，A(k)、B(k)由下式给出：
（2），（3）式代入（1）式得： (4)
由于，
中括号里为偶函数，改变外边积分范围得：
与（7）式相加，再运用欧拉公式得：
叫做 的傅里叶变换式则：(11)
在无线电通讯理论中，一文傅里叶变换把一个时间域中的信号变换成频率域中的信号[7]；在光学信息中，高亮度高强度的激光束通过衍射孔径，其夫琅和费衍射像是孔径的二文傅里叶变换，这个结论与通讯理论相似，通讯理论中的许多概念与方法可以移植到光学中来。
1.2 二文傅里叶变换式
设 是定义在 平面的空间函数，它的傅里叶变换存在，并用空间频率平面的二文函数 表示，将傅里叶变换式由一文推广到二文得：
其中， 和 分别表示沿坐标轴方向的空间角频率。
在近代光学中常把 称作函数的空域形式，把它的傅里叶变换谱 称函数的频域形式，它代表了函数 的空间频谱。
2. 用傅里叶变换计算衍射的光强分布
夫琅和费衍射积分公式[8]：
(14)
其中， 为孔径平面坐标， 为观察平面坐标。
指数因子(15)
若取空间频率如下：16)
则（15）式可表示为(17)
在波动光中，它代表一个空间频率为 的二文平面波，而在傅里叶分析中，它正是傅里叶变换核。
将（17）式代入（14）式，得
(18)
上式中的积分正是 的二文傅里叶变换，如果设：
夫琅和费衍射图形的光强分布则可以表示为：
(22)
式（18）表明，夫琅和费衍射场的复振幅分布 是孔径面上光场的复振幅分布 的傅里叶变换，也就表示透过孔径的波场 被分解为具有不同空间频率 的基元函数 的线性叠加，即夫琅和费衍射的复振幅分布是孔径面上的复振幅分布 的傅里叶频谱。
2.1 单缝的夫琅和费衍射
为计算简便，假设衍射物体为不透明屏 上一条方向平行于 轴，长度不限，宽度为 的狭缝。用平行光正入射照明，在透镜L后的焦平面上观察。若不考虑透镜孔径的大小的情况下，可以认为光波在 方向上不受限制，所以上述单缝衍射实际上可看做一文问题，只需计算沿x方向的衍射。
设衍射物体的复振幅透射系数
(23)
由于照明光波复振幅 ，所以透过衍射物体的复振幅为：
(24)
将复振幅分布 代入式（14）的夫琅和费衍射公式，得出（x，y）平面的复振幅分布为：
(25)
上式推导中应用了上式同样表明，夫琅和费衍射是沿着光波所受限制的方向。
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