2.1.2 有限元法的孕育过程及诞生和发展论文网

大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有整体对局部的可加性。虽然，积分运算与有限元技术对定义域的划分是不同的，前者进行无限划分而后者进行有限划分，但积分运算为实现有限元技术准备好了一个理论基础。

在牛顿之后约一百年，著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式，后者被用来求解有限元法所得出的代数方程组。在18世纪，另一位数学家拉格郎日提出泛函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途经。

在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。1915年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。

所以，到这时为止，实现有限元技术的第二个理论基础也已确立。

20世纪50年代，飞机设计师们发现无法用传统的力学方法分析飞机的应力、应变等问题。波音公司的一个技术小组，首先将连续体的机翼离散为三角形板块的集合来进行应力分析，经过一番波折后获得前述的两个离散的成功。20世纪50年代，大型电子计算机投入了解算大型代数方程组的工作，这为实现有限元技术准备好了物质条件。1960年前后，美国的R.W.Clough教授及我国的冯康教授分别独立地在论文中提出了“有限单元”，这样的名词。此后，这样的叫法被大家接受，有限元技术从此正式诞生。

1990年10月美国波音公司开始在计算机上对新型客机B－777进行“无纸设计”，仅用了三年半时间，于1994年4月第一架B－777就试飞成功，这是制造技术史上划时代的成就，其中在结构设计和评判中就大量采用有限元分析这一手段。

在有限元分析的发展初期，由于其基本思想和原理的“简单”和“朴素”，以至于许多学术权威都对其学术价值有所鄙视，国际著名刊物Journal of Applied Mechanics 许多年来都拒绝刊登有关于有限元分析的文章。然而现在，有限元分析已经成为数值计算的主流，不但国际上存在如ANSYS等数种通用有限元分析软件，而且涉及到有限元分析的杂志也有几十种之多。

2.1.3  有限元分析的基本步骤

（1）结构物的离散化。离散化就是将待分析的结构物从几何角度上用线或面划分为有限个单元，即将结构物看成有限个单元组成的组合体。按结构物形状的不同和分析的要求，选取的单元形式也有所不同，通常在单元的边界上设置结点，结点联结相邻的单元。结构物离散化时，划分的单元的大小和数目应根据计算精度的要求和计算机的容量来决定。现在流行的有限元软件通常自动完成有限单元的划分，并且提供了很多的单元类型，可以根据不同的材料、形状、密度等条件选择单元类型，进行智能化的单元划分。

（2）单元分析。单元分析就是设法导出单元的结点位移和结点力之间的关系，即建立单元刚度矩阵。在分析弹性力学问题时。每个单元内的任意点的位移需要按一定的函数关系用结点位移来表示，这些位移函数应保证解的收敛性，然后可建立起单元刚度矩阵。单元分析是有限元分析中重要的环节之一，对结果的准确性很关键。

（3）整体分析。整体分析就是将各个单元组成结构整体进行分析。整体分析可以导出整个结构结点位移于结点力之间的关系，即建立整个结构的刚度矩阵。然后建立整体结构的动力学方程，运用数学方法求解。现在的有限元软件通常自动完成单元分析和整体分析，但在有限元软件设计的时候，单元分析和整体分析时很重要的环节，它将直接影响到结果的准确性。随着计算机的发展，有限元软件能够保证单元分析和整体分析的准确性。文献综述