各类光学薄膜厚度测量仪测量误差差异性研究(4)
(2.5)
式中， 是沉积薄膜后石英晶体的谐振周期， 是石英晶体的固有谐振周期， 是石英晶体与膜层的声阻抗比值．
定义：
， ， (2.6)式中 是沉积薄膜后石英晶体谐振频率的变化量， 是沉积薄膜后石英晶体的谐振频率，则式(2.5)可简化为
(2.7)理论上石英晶振片的寿命从99%(没有沉积薄膜的晶振片的寿命)降到0，对应的频率下降1.5MHz(没有沉积薄膜的晶振片的谐振频率是6 MHz)，实际使用中石英晶振片的寿命最多只能降到90％，因此相应地可以计算出 ，此时有 远小于 ，所以式(2.7)可以用泰勒级数展开，并忽略高次项得
(2.8)由于 小于1，所以 远小于1，于是(2.8)可以用泰勒级数展开并忽略高次项得
(2.9)由于 变化很小，近似 ，得
(2.10)
对于具体的模料， 是常数，所以 与 就成线性关系，即该式体现了膜厚与石英晶体谐振率变化的关系。
如果 过大，式(2.7)和式(2.8)的高次项就不能忽略，上面推导的线性关系就不能很好地符合，晶控仪的监控精度就受到影响．所以，为了保证晶控仪的监控精度，石英晶振片在沉积了一定厚度的薄膜后(石英晶控仪会显示)就要更换或清洗．
2.2.2 光控（光电极值法控制）
薄膜的透射光或反射光强度是随着薄膜厚度而变化的。以单层膜为例，当入射光为自然光，在垂直入射的情况下，透射合成振幅系数 以无穷级数的和来表示，即
式中： 。
式(2.11)中的每一项相当于下图中的某一光线。 相当于图2-1中的光线1， 相当于光线2，其余依次类推。无穷级数是公比 的无穷递减等比级数，求和之后得到振幅透射系数
图2.1 光在薄膜中多次反射
强度透射系数，即透射率：
(2.13)
这里 ， ，即透射光强度为薄膜厚度 的函数。当 等于 波长的倍数时，透射率变出现极值，同理可求得反射光强度。如果在光路中置一单色仪或窄带干涉滤光片，则测量的透射率和反射率将按图 的方式变化。这种利用蒸发过程中出现的光信号极值来控制 波长或其整数倍膜厚的方法称之为光电极值法。
从图2.2中可以看出，厚度变化一个微小量 所引起的透射率或反射率的变化为 或 ，他们在不同的厚度时是不同的。在极值点附近， 接近于零，即这时的透射率或反射率对厚度的变化不灵敏，这是该方法原理所固有的缺陷[6]。
图2.2 不同折射率的薄膜反射率和透射率随厚度变化的曲线
2.3 薄膜光谱特性的数学模型
单层薄膜的反射与透射情况如图2.3所示。折射率为n的薄膜镀制在折射率为 的玻璃平板上，周围介质(薄膜的上表面和玻璃平板的下表面)的折射率为 。当光束入射到薄膜表面时，透射光将在薄膜的上表面和下表面发生多次反射，并且从薄膜的上、下表面出射一系列的平行光，类似于平行平板的多光束干涉[21]。