为了讨论方便引入易逸度   ( )

在热力学极限下（ ， 且 有限），自由粒子的能谱是连续的，求和可用积分代替：

                               （2.1.4）

式中 为态密度， 表示单位能量间隔中是量子态数。

                           （2.1.5）

粒子自旋S取0，将（2.1.5）带入（2.1.4），且基态 ， 

                            （2.1.6）

其中  

是Z的单调函 ,，tg为Rieman-Zata函数。因此对于它的T、V，体系处于激发态的总粒子数N始终是有界的。

    的上限值； 如果体系的总粒子 ，则系统中新有粒子均分布在激发态。若 ，则超过部分的粒子只能处在基态。

临界温度 这个结果表明：当系统的温度低于临界温度 时，粒子将迅速在最低的能级集结，使 成为与N可比拟的量，若 则 ，即全部粒子都将转移到最低能级。如图2.1所示，这就是玻色-爱因斯坦凝聚。

  粒子数分布与温度的关系

2.2 玻色-爱因斯坦凝聚的由来

天然界中按统计性质，粒子可以分为为玻色子和费米子(Bose、Fermi)。自旋数为整数的粒子是玻色子（如：α粒子、光子）;自旋数为半整数的粒子是费米子,（如：μ介子、电子 、质子、中子）;玻色子服于玻—爱统计而费米子服从费米统计。1924年6 月,三十几岁的Bose送了一份手稿给阿尔伯特·爱因斯坦 。

他想要推导普朗克(黑体辐射)定律的系数  。他定相空间区域的体积为 。阿尔伯特·爱因斯坦将Bose的手写稿送去发表。阿尔伯特·爱因斯坦很快着手于这一问题的研究。他在1924年、1925 年发表两篇论文,预言：当这类原子的温度低到一定程度, 所有的原子就聚集在最低的能量状态。

    但是过了很长时间,这项研究也没什么进展。直到 1938 年, 伦敦物理学家(F .London)提出来 ,超流和超导现象可能是玻色—爱因斯坦凝聚现象的一种。然而这超流和超导现象都是发生在强相互作用体系中。理论上玻色—爱因斯坦凝聚只有弱相互作用或近理想的Bose气体中才会发生，玻色-爱因斯坦凝聚现象的研究就此中断。人们只研究出超导与玻—爱凝聚的关系需要经过电子的配对, 而且涉及更加复杂的相互作用。所以这些理论一直未得到很好的验证。来,自|优;尔`论^文/网www.youerw.com

随着科研工作不断的进行，终于在上二十世纪 80 年代,也就是阿尔伯特·爱因斯坦理论预言以后的将近70年以后, 于 1995 年物理学家们终于才在气体中实现玻—爱凝聚的尝试。他们在实验室看到了中性原子的玻—爱凝聚现象。 1995年7月13日 ,美国的实验天体物理研究所成功实验出:在冷却到绝对温度 170 的碱金属铷( )蒸气中观察到了玻—爱凝聚 。1995年,美国麻省理工学院也宣布,在钠 ( )蒸汽中实现了玻—爱凝聚(BEC)。为此,科学家卡尔·维曼获 2001 年诺贝尔物理学奖，埃里克·康奈尔获诺贝尔物理学奖。美国麻省理工学院的沃尔夫冈·克特勒也获诺贝尔物理学奖。玻色-爱因斯坦凝聚现象才就此真正的重回历史舞台，被人们所广泛的认识。