切换系统研究概况切换系统按照切换信号性质的不同可划分为状态依赖型切换系统和时间依赖型切换系统[7]。状态依赖型切换系统：是指切换信号是通过状态变量来决定的，整个状态空间是由切换面分为不同的个别的状态区域，每个区域都会对应着某一个确定了的子系统。系统状态轨迹到达切换面的时候由一个状态区域切换至另一个状态区域。时间依赖型切换系统是指系统的切换信号由时间变量决定，当时间变量满足一定的条件时，在子系统之间就发生切换[8]。由 个子系统构成的切换系统通常可由以下的微分方程描述：63740

 ，                        (1.2.1)

其中 为系统的状态量， 为系统运行的初始时刻， 表示分段常值切换信号， 表示 个子系统对应的序号集合。对于每一个 ， 表示充分光滑的非线性函数。为问题研究的方便起见，通常假定切换信号 是右连续的。特别的，若 为线性函数时，则可得到线性切换系统：

 ，                        (1.2.2)

稳定性是控制系统的最基本的性质，与一般的非切换系统相比，切换系统的一个显著特征是：子系统 的稳定性不等于整个切换系统的稳定性，即使各子系统 稳定，如果切换信号选取不当，整个切换系统可能不稳定；即使各子系统 不稳定，通过设计适当的切换策略也能保证整个切换系统的稳定性[9]。到目前为止，针对状态依赖型切换系统和时间依赖型切换系统的稳定性分析，分别给出了Lyapunov函数方法和驻留时间方法。

Lyapunov函数方法

a. 公共Lyapunov函数方法

对于切换系统(1.2.1)，若所有子系统存在一个共同的Lyapunov函数 ，使得对任意的切换信号

   ，                (1.2.3)

则系统是稳定的，这样的Lyapunov函数称为公共Lyapunov函数。对于线性切换系统(1.2.2)，需要寻求公共二次Lyapunov函数判断系统的稳定性。在实际的应用，数值的解是寻找公共二次Lyapunov函数的一个非常得当的方法，文献[11]证明了对于线性切换系统(1.2.2)，若所有子系统 ， 都是渐近稳定的，且各子系统的状态矩阵可以相互互换，即对于 ，有 成立，则整个切换系统逐渐稳定，文献深一层给出了公共二次Lyapunov函数的递推构造的方法。文献[13]利用Lie代数对公共Lyapunov函数的存在性问题进行了究，其中心思想是将公共Lyapunov函数存在性的问题转换成Lie代数可解性的问题，文献给出了如果式(1.2.2)对应的Lie代数如果是可解的，则系统存在公共Lyapunov函数，并且对于任何切换序列都是一样的；更能证明了如果式(1.2.1)对应的Lie代数是可解的，则系统对于所有切换序列是局部一致指数稳定的[10]。

一般而言，利用公共Lyapunov函数判别系统的稳定性在现实应用中具有很大的局限性。因为，囚切换系统存在公共Lyapunov函数，则在任何切换下是逐渐稳定的。显然，这样的要求是很严格的，公共Lyapunov函数的构造很困难，有的时候甚至是不存在的。但是，利用公共Lyapunov函数方法得出的系统稳定性条件有其自身的优点：首先，这样的条件往往更为简单；其次，它可以保证切换系统在任意切换信号下的稳定性，因而设计者可专注于利用切换提高系统性能，不必担心系统失稳[11]。需要指出的是，利用公共Lyapunov函数方法所得到的切换系统的稳定性条件是充分的。这自然使得研究者们思考如果切换系统是稳定的，是否存在公共Lyapunov函数，这就是所谓的逆Lyapunov函数原理，文献[12]对此进行了研究。