上述关于可达集估计的研究工作均是考虑的连续时间系统模型。在离散系统可达集研究方面，王龙、郑大钟在[23]中讨论了离散事件动态系统的可达性,给出了系统完全可达的充要条件,得到了利用系统的特征矩阵判断系统可达性的判据。文章结果证明了系统可按可达性进行分解、状态反馈不影响系统可达性等结论,还进一步讨论了一类流水线生产加工系统的可达性。他们的结果对于离散系统可达集的分析和控制有着重要的意义。文献[24]应用Lyapunov函数方法，从矩阵不等式的形式，得出线性不确定离散系统的椭球边界存在的充分条件。他们提出的新方法是：将具有不同收敛速度的椭球体每个轴的投影距离最小化；而不是将具有相同收敛速度的椭球体的半径最小化。基于此，从椭球的交集便可得到更小的边界。值得一提的是，文献[24]只研究了可达集估计问题，并没有考虑基于可达集估计的控制综合问题。

本文在他人工作的基础上，讨论了线性离散时间系统的可达集估计及其控制问题。首先，基于Lyapunov方法，我们以矩阵不等式的形式得出了线性不确定离散系统的椭球边界存在的充分条件。之后，我们推导得到了系统的可达集估计定理及控制器设计定理。最后我们提供了两个数值算例。依据本文提出的可达集估计定理和控制器设计定理，我们使用Matlab软件对其设计了仿真程序，并通过LMI工具箱求解得到了仿真结果。仿真结果验证了我们所提方法的有效性。文献综述

本文的组织如下：引言之后，我们在第二章给出了问题的描述；第三章给出了当离散时间线性系统不存在输入时的可达集估计问题的研究结果；第四章给出了当离散时间线性系统存在输入时的控制器设计问题的研究结果；第五章给出了相应的数值算例；在最后一章我们陈述了本文的结论。

通用符号：在本文中， 为正整数的集合、 表示n维空间和矢量范数、 表示矩阵 的转置，如果 ，则 是对称矩阵， 表示单位矩阵。

2  问题描述

考虑下面的离散时间线性系统：             (2.1)

其中，  是系统状态； , 和 为适当维的常数矩阵； 是控制输入；  是有界扰动，并假设其满足如下条件：

    本文将讨论系统(2.1)可达集估计及其控制问题，首先我们将讨论开环系统的可达集估计问题，即假设系统(2.1)不含控制输入。此时，式(2.1)变为：

现在我们给出系统(2.3)的可达集的定义：

定义1：对任意满足式(2.2)的有界扰动，系统(2.3)的可达集定义为：

  (2.2)和(2.3)             (2.4)                                        

由定义1不难看出，可达集是有界扰动影响下的系统状态向量的集合。可达集估计问题即是对 进行估计，也即是看在有界扰动影响下，系统状态能到达的范围。根据文献[24]的方法，我们拟采用椭球来界定可达集 ，即寻找一个尽可能小的椭球，使之包含 。具体来讲，我们定义如下形式的椭球：    (2.5)            

其中 是一个正定矩阵。我们的目的是看在什么条件下，等够保证 是 的子集。

    除了对开环系统进行可达集估计以外，我们还将考虑基于可达集估计的控制问题，即针对(2.1)所描述的离散时间线性系统，设计反馈控制器，使得闭环系统的可达集包含于一个椭球。在本毕业设计中，我们考虑如下形式的状态反馈控制器