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    信号处理用于诊断检查较为成功的实例,有脑电或心电的自动分析系统、断层成像技术等。断层成像技术是诊断学领域中的重大发明。X射线断层的基本原理是X射线穿过被观测物体后构成物体的二文投影。接收器接收后,再经过恢复或重建,即可在一系列的不同方位计算出二文投影,经过运算处理即取得实体的断层信息,从而大屏幕上得到断层造像。信号处理在生物医学方面的应用正处于迅速发展阶段。
    数字信号处理在其他方面还有多种用途,如雷达信号处理、地学信号处理等,它们虽各有其特殊要求,但所利用的基本技术大致相同。在这些方面,数字信号处理技术起着主要的作用。
    1.3  DSP设计目的及内容
       加深对DFT算法原理和基本性质的理解,熟悉FFT的算法原理和FFT子程序的算法流程和应用,学习用FFT对连续信号和时域信号进行频谱分析的方法;学习DSP中FFT的设计和编程思想,,实现FFT运算,对输入信号进行频谱分析。
     2  FFT算法分析
    2.1  FFT设计原理
    快速傅氏变换(FFT)是一种高效实现离散傅氏变换的快速算法,是数字信号处理中最为重要的工具之一,它在声学、语音、电信、和信号处理等领域有着广泛的应用。
      对于有限长离散数字信号{x[n]},0  n  N-1,其离散谱{x[k]}可以由离散付氏变换(DFT)求得。可以方便的把它改写为如下形式:
    不难看出,WN是周期性的,且周期为N,即
    N的周期性是DFT的关键性质之一。为了强调起见,常用表达式WN取代W以便明确其周期是N。
    即W =e ,称为蝶形因子式旋转因子。
    对于旋转因子W 来说,有如下的对称性和周期性:
    对称性:W =-W 周期性:W =W
    FFT算法可以分为按时间抽取FFT和按频率抽取FFT两大类,输入也有和复数之分,一般情况下,都假定输入序列为复数。FFT算法利用旋转因子的对称性和周期性,加快了运算速度。用定点DSP芯片实现FFT程序时,一个比较重要的问题是防止中间结果的溢出,防止中间结果的溢出的方法是对中间数值归一化。为了避免对每级都进行归一化会降低运算速度,最好的方法是只对可能溢出的进行归一化,而不可能溢出的则不进行归一化。
    由DFT的定义可以看出,在x[n]为复数序列的情况下,完全直接运算N点DFT需要(N-1)2次复数乘法和N(N-1)次加法。因此,对于一些相当大的N值(如1024)来说,直接计算它的DFT所作的计算量是很大的。FFT的基本思想在于,将原有的N点序列序列分成两个较短的序列,这些序列的DFT可以很简单的组合起来得到原序列的DFT。例如,若N为偶数,将原有的N点序列分成两个(N/2)点序列,那么计算N点DFT将只需要约[(N/2)2 •2]=N2/2次复数乘法。即比直接计算少作一半乘法。因子(N/2)2表示直接计算(N/2)点DFT所需要的乘法次数,而乘数2代表必须完成两个DFT。上述处理方法可以反复使用,即(N/2)点的DFT计算也可以化成两个(N/4)点的DFT(假定N/2为偶数),从而又少作一半的乘法。这样一级一级的划分下去一直到最后就划分成两点的FFT运算的情况。
    FFT(Fast Fourier Transformation),即为快速傅氏变换,是离散傅氏变换的快速算法,它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性,对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的
     
    图2.1蝶形运算
    发现,但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换,可以说是进了一大步。
    设x(n)为N项的复数序列,由DFT变换,任一X(m)的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法,而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次复数加法,一次复数加法等于两次实数加法,即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”(四次实数乘法和四次实数加法),那么求出N项复数序列的X(m),即N点DFT变换大约就需要N^2次运算。当N=1024点甚至更多的时候,需要N2=1048576次运算,在FFT中,利用WN的周期性和对称性,把一个N项序列(设N=2k,k为正整数),分为两个N/2项的子序列,每个N/2点DFT变换需要(N/2)2次运算,再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后,总的运算次数就变成N+2*(N/2)^2=N+N^2/2。继续上面的例子,N=1024时,总的运算次数就变成了525312次,节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去,直到分成两两一组的DFT运算单元,那么N点的DFT变换就只需要Nlog2N次的运算,N在1024点时,运算量仅有10240次,是先前的直接算法的1%,点数越多,运算量的节约就越大,这就是FFT的优越性。
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